Question

【题目】如图所示，已知AB是⊙O的直径，BC⊥AB，连接OC，弦AD∥OC，直线CD交BA的延长线于点E．

（1）求证：直线CD是⊙O的切线；

（2）若DE=2BC，求AD：OC的值．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）2：3

【解析】试题分析：

（1）连接OD，由OD=OA可得∠ODA=∠OAD，由AD∥OC可得：∠OAD=∠COD，∠ODA=∠COD，从而可得∠COD=∠BOC，这样结合OD=OB，OC=OC即可证得△COD≌△COB，由此可得到∠ODC=∠OBC=90°，即可得到直线CD是⊙O的切线；

（2）由△COD≌△COB可得CD=BC结合DE=2BC可得DE=2CD，再证△EAD∽△EOC即可由相似三角形的性质求得AD：OC的比值了.

试题解析：

（1）证明：连接OD，

∵OA=OD，

∴∠ODA=∠OAD，

∵AD∥OC，

∴∠OAD=∠COD，∠ODA=∠COD，

∴∠COD=∠BOC，

在△COD和△BOC中： ，

∴△COD≌△BOC，

∴∠ODC=∠OBC=90°，

∴CD为圆O的切线；

（2）∵△COD≌△COB，

∴BC=CD，

∵DE=2BC，

∴DE=2CD，

∵AD∥OC，

∴△DAE∽△COE，

∴AD：OC=ED：AC=2：3．