Question

【题目】如图，⊙O中，直径CD⊥弦AB于E，AM⊥BC于M，交CD于N，连AD．

（1）求证：AD=AN；
（2）若AB=4 ，ON=1，求⊙O的半径．

Answer 1

【答案】
（1）证明：∵∠BAD与∠BCD是同弧所对的圆周角，

∴∠BAD=∠BCD，

∵AE⊥CD，AM⊥BC，

∴∠AMC=∠AEN=90°，

∵∠ANE=∠CNM，

∴∠BCD=∠BAM，

∴∠BAM=BAD，

在△ANE与△ADE中，

∵ ，

∴△ANE≌△ADE，

∴AD=AN；

（2）解：∵AB=4 ，AE⊥CD，

∴AE=2 ，

又∵ON=1，

∴设NE=x，则OE=x﹣1，NE=ED=x，r=OD=OE+ED=2x﹣1

连结AO，则AO=OD=2x﹣1，

∵△AOE是直角三角形，AE=2 ，OE=x﹣1，AO=2x﹣1，

∴（2 ）2+（x﹣1）2=（2x﹣1）2，解得x=2，

∴r=2x﹣1=3．

【解析】（1）先根据圆周角定理得出∠BAD=∠BCD，再由直角三角形的性质得出∠ANE=∠CNM，故可得出∠BCD=∠BAM，由全等三角形的判定定理得出△ANE≌△ADE，故可得出AD=AN；
（2）先根据垂径定理求出AE的长，设NE=x，则OE=x-1，NE=ED=x，r=OD=OE+ED=2x-1，连结AO，则AO=OD=2x-1，在Rt△AOE中根据勾股定理可得出x的值，进而得出⊙O的半径．