Question

【题目】如图，抛物线y=ax2+bx+c经过点（﹣1，4），与直线y=﹣x+1相交于A、B两点，其中点A在y轴上，过点B作BC⊥x轴，垂足为点C（﹣3，0）．点M是直线AB上方的抛物线上一动点，过M作MP丄x轴，垂足为点P，交直线AB于点N，设点M的横坐标为m．

（1）求抛物线的解析式；

（2）当m为何值时，线段MN取最大值？并求出这个最大值．

Answer 1

【答案】（1）y=﹣x2﹣4x+1；（2）当m=﹣时，MN有最大值是．

【解析】

试题分析：（1）首先求得A和B的坐标，然后利用待定系数法求得抛物线的解析式；

（2）当x=m是，M和N的纵坐标即可利用m表示出来，然后根据二次函数的性质求得MN的最大值．

解：（1）在y=﹣x+1中，令x=0，解得y=1，则A的坐标是（0，1）．

在y=﹣x+1中，令x=﹣3，则y=3+1=4，则B的坐标是（﹣3，4）．

根据题意得：，

解得：．

则抛物线的解析式是y=﹣x2﹣4x+1；

（2）当x=m是，M的纵坐标是﹣m2﹣4m+1，N的纵坐标是﹣m+1，

则MN=（﹣m2﹣4m+1）﹣（﹣m+1）=﹣m2﹣3m=﹣（m2+3m）=﹣（m+）2+．

则当m=﹣时，MN有最大值是．