Question

【题目】在△ABC中，∠A=90°，AB=4，AC=3，M是AB上的动点（不与A，B重合），过M点作MN∥BC交AC于点N．以MN为直径作⊙O，并在⊙O内作内接矩形AMPN．令AM=x．

（1）用含x的代数式表示△MNP的面积S；
（2）当x为何值时，⊙O与直线BC相切；
（3）在动点M的运动过程中，记△MNP与梯形BCNM重合的面积为y，试求y关于x的函数表达式，并求x为何值时，y的值最大，最大值是多少？

Answer 1

【答案】
（1）解：∵MN∥BC，

∴∠AMN=∠B，∠ANM=∠C．

∴△AMN∽△ABC．

∴ ，即 ；

∴AN= x；

∴S=S△MNP=S△AMN= xx= x2．（0＜x＜4）

（2）解：如图2，设直线BC与⊙O相切于点D，连接AO，OD，则AO=OD= MN．

在Rt△ABC中，BC= =5；

由（1）知△AMN∽△ABC，

∴ ，即 ，

∴MN= x

∴OD= x，

过M点作MQ⊥BC于Q，则MQ=OD= x，

在Rt△BMQ与Rt△BCA中，∠B是公共角，

∴△BMQ∽△BCA，

∴ ，

∴BM= x，AB=BM+MA= x+x=4

∴x= ，

∴当x= 时，⊙O与直线BC相切；

（3）解：随点M的运动，当P点落在直线BC上时，连接AP，则O点为AP的中点．

∵MN∥BC，

∴∠AMN=∠B，∠AOM=∠APB，

∴△AMO∽△ABP，

∴ ，

∵AM=MB=2，

故以下分两种情况讨论：

①当0＜x≤2时，y=S△PMN= x2，

∴当x=2时，y最大= ×4= ，

②当2＜x＜4时，设PM，PN分别交BC于E，F，

∵四边形AMPN是矩形，

∴PN∥AM，PN=AM=x，

又∵MN∥BC，

∴四边形MBFN是平行四边形；

∴FN=BM=4﹣x，

∴PF=x﹣（4﹣x）=2x﹣4，

又∵△PEF∽△ACB，

∴ ，

∴S△PEF= （x﹣2）2；

y=S△MNP﹣S△PEF= x2﹣ （x﹣2）2=﹣ x2+6x﹣6，

当2＜x＜4时，y=﹣ x2+6x﹣6=﹣ （x﹣ ）2+2，

∴当x= 时，满足2＜x＜4，y最大=2．

综上所述，当x= 时，y值最大，最大值是2．

【解析】（1）由MN∥BC，得到△AMN∽△ABC，得到比例，求出S=S△MNP=S△AMN的代数式；（2）当直线BC与⊙O相切于点D时，根据勾股定理在Rt△ABC中，求出BC的值，由（1）知△AMN∽△ABC，得到比例，在Rt△BMQ与Rt△BCA中，∠B是公共角，得到∴△BMQ∽△BCA，得到比例，求出x的值；（3）由MN∥BC，得到△AMO∽△ABP，得到比例，由△MNP与梯形BCNM重合的面积为y，讨论得到y关于x的函数表达式，求出y的最大值；此题是综合题，难度较大，计算和解方程时需认真仔细.
【考点精析】认真审题，首先需要了解相似三角形的判定与性质(相似三角形的一切对应线段(对应高、对应中线、对应角平分线、外接圆半径、内切圆半径等）的比等于相似比；相似三角形周长的比等于相似比；相似三角形面积的比等于相似比的平方)．