Question

【题目】将一个直角三角形纸板ABC放置在锐角△PMN上，使该直角三角形纸板的两条直角边AB，AC分别经过点M，N．

（发现）

（1）如图1，若点A在△PMN内，当∠P=30°时，则∠PMN+∠PNM=______°，∠AMN+∠ANM=______°，∠PMA+∠PNA=______°．

（2）如图2，若点A在△PMN内，当∠P=50°时，∠PMA+∠PNA=______°．

（探究）

（3）若点A在△PMN内，请你判断∠PMA，∠PNA和∠P之间满足怎样的数量关系，并写出理由．

（应用）

（4）如图3，点A在△PMN内，过点P作直线EF∥AB，若∠PNA=16°，则∠NPE=______．

Answer 1

【答案】（1）150，90，60；（2）40；（3）∠PMA+PNA+∠P=90°；（4）106°

【解析】

（1）先判断出∠AMN+∠ANM=90°，进而得出∠PMN+∠PNM=180°-∠P=150°，即可得出结论；

（2）同（1）的方法即可得出结论；

（3）同（1）的方法即可得出结论；

（4）由（3）知，∠PMA+PNA+∠MPN=90°，进而求出∠PMA+∠MPN=74°，即可求出∠FPM+∠MPN=74°，最后用平角的定义即可得出结论．

解：（1）∵△ABC是直角三角形，

∴∠BAC=90°，

∴∠AMN+∠ANM=90°，

在△PMN中，∠P=30°，

∴∠PMN+∠PNM=180°-∠P=150°，

∴∠PMA+∠AMN+∠ANM+∠PNA=150°，

∴∠PMA+∠PNA+（∠AMN+∠ANM）=150°-90°=60°，

故答案为：150，90，60；

（2）∵△ABC是直角三角形，

∴∠BAC=90°，

∴∠AMN+∠ANM=90°，在△PMN中，∠P=50°，

∴∠PMN+∠PNM=180°-∠P=130°，

∴∠PMA+∠AMN+∠ANM+∠PNA=130°，

∴∠PMA+∠PNA+（∠AMN+∠ANM）=130°-90°=40°，

故答案为40；

（3）∵△ABC是直角三角形，

∴∠BAC=90°，

∴∠AMN+∠ANM=90°，在△PMN中，

∴∠PMN+∠PNM=180°-∠P，

∴∠PMA+∠AMN+∠ANM+∠PNA=180°-∠P，

∴∠PMA+∠PNA+（∠AMN+∠ANM）=180°-∠P-90°=90°-∠P，

即：∠PMA+PNA+∠P=90°，

（4）由（3）知，∠PMA+PNA+∠MPN=90°，

∵∠PNA=16°，

∴∠PMA+∠MPN=90°-∠PNA=74°，

∵EF∥AB，

∴∠PMA=∠FPM，

∴∠FPM+∠MPN=74°，

即：∠FPN=74°，

∴∠NPE=180°-∠FPN=106°，

故答案为：106°．