Question

【题目】（本小题满分9分）等边△ABC的边长为2，P是BC边上的一动点(不与B，C重合)，设BP=x，连接AP，以AP为边向两侧作等边△APD和等边△APE，分别与边AB，AC交于点M，N. (如图1)．

（1）求证：AM＝AN；

（2）若BM＝，求x的值；

（3）求四边形ADPE与△ABC重叠部分的面积S与x之间的函数关系式及S的最小值；

（4）如图2，连接DE分别与边AB，AC交于点G，H．当x为何值时，∠BAD＝15 .

Answer 1

【答案】(1)证明见解析；（2）或；（3）S（x﹣1）2+，S的最小值为；（4）x=2﹣2

【解析】

试题分析：（1）根据等边三角形的性质得到∠PAN=∠DAM，证明△ADM≌△APN，根据全等三角形的性质证明结论；

（2）证明△BPM∽△CAP，根据相似三角形的性质列出比例式，解方程即可；

（3）作PH⊥AB于H，根据勾股定理和锐角三角函数的概念求出S△ADP，根据四边形ADPE与△ABC重叠部分四边形AMPN的面积S=△ADP的面积得到答案；

（4）连接PG，根据菱形的性质、等腰直角三角形的性质计算即可．

试题解析：（1）∵△ABC、△APD、△APE都是等边三角形，

∴AD=AP，∠ADM=∠APN=60°，∠DAP=∠BAC=60°，

∴∠PAN=∠DAM，

在△ADM和△APN中，

，

∴△ADM≌△APN，

∴AM=AN；

（2）∵∠PMB=∠MPA+∠BAP，∠APC=∠B+∠BAP，∠MPA=∠B=60°，

∴∠PMB=∠APC，又∠B=∠C，

∴△BPM∽△CAP，

∴，即，

整理得，4x2﹣8x+3=0，

解得，x1=，x2=，

∴当BM=时，x的值为或；

（3）如图1，作PH⊥AB于H，

∵△ADM≌△APN，

∴四边形ADPE与△ABC重叠部分四边形AMPN的面积S=△ADP的面积，

∵BP=x，∠B=60°，

∴BH=x，PH=x，

∴AH=2﹣x，

由勾股定理得，AP2=AH2+PH2=（2﹣x）2+（x）2=x2﹣2x+4，

∵△ADP是等边三角形，

∴S△ADP=×AP×AP=AP2=（x﹣1）2+，

∴S的最小值为；

（4）连接PG，

当∠BAD=15°时，∵∠DAP=60°，

∴∠GAP=45°，

∵四边形ADPE是菱形，

∴AP⊥DE，

∴AG=PG，

∵∠B=60°，BP=x，

∴BG=x，AG=PG=x，

∴x+x=2，

解得，x=2﹣2，

∴当x=2﹣2时，∠BAD=15°．