Question

【题目】如图，已知∠AOC＝∠BOD＝120°，∠BOC＝∠AOD．

（1）求∠AOD的度数；

（2）若射线OB绕点O以每秒旋转20°的速度顺时针旋转，同时射线OC以每秒旋转15°的速度逆时针旋转，设旋转的时间为t秒（0＜t＜6），试求当∠BOC＝20°时t的值；

（3）若∠AOB绕点O以每秒旋转5°的速度逆时针旋转，同时∠COD绕点O以每秒旋转10°的速度逆时针旋转，设旋转的时间为t秒（0＜t＜18），OM平分∠AOC，ON平分∠BOD，在旋转的过程中，∠MON的度数是否发生改变？若不变，求出其值：若改变，说明理由．

Answer 1

【答案】（1）∠AOD＝150°；（2）t＝2或t＝；（3）∠MON的度数不会发生改变，∠MON＝30°，理由见解析.

【解析】

（1）由角的和差倍分构建方程求出∠AOD的度数为150°；

（2）分两射线重合前后两种情况，建立等量关系求出时间分别为t＝2或t＝；

（3）由角度的旋转求出旋转角的大小，角的和差，角平分线的定义求出∠MON的度数为30°．

解：如图所示：

（1）设∠AOD＝5x°，

∵∠BOC＝∠AOD

∴∠BOC＝5x°＝3x°

又∵∠AOC＝∠AOB+∠BOC，∠BOD＝∠DOC+∠BOC，

∠AOD＝∠AOB+∠BOC+∠DOC，

∴∠AOC+∠BOD＝∠AOD+∠BOC，

又∵∠AOC＝∠BOD＝120°，

∴5x+3x＝240

解得：x＝30°

∴∠AOD＝150°；

（2）∵∠AOD＝150°，∠BOC＝∠AOD，

∴∠BOC＝90°，

①若线段OB、OC重合前相差20°，则有：

20t+15t+20＝90，

解得：t＝2，

②若线段OB、OC重合后相差20°，则有：

20t+15t﹣90＝20

解得：t＝，

又∵0＜t＜6，

∴t＝2或t＝；

（3）∠MON的度数不会发生改变，∠MON＝30°，理由如下：

∵旋转t秒后，∠AOD＝150°﹣5t°，∠AOC＝120°﹣5t°，∠BOD＝120°﹣5t°

∵OM、ON分别平分∠AOC、∠BOD

∴∠AOM＝∠AOC＝，

∠DON＝∠BOD＝

∴∠MON＝∠AOD﹣∠AOM﹣∠DON

＝150°﹣5t°﹣﹣

＝30°．