Question

【题目】抛物线过A（2，3），B（4，3），C（6，﹣5）三点．

（1）求抛物线的表达式；

（2）如图①，抛物线上一点D在线段AC的上方，DE⊥AB交AC于点E，若满足，求点D的坐标；

（3）如图②，F为抛物线顶点，过A作直线l⊥AB，若点P在直线l上运动，点Q在x轴上运动，是否存在这样的点P、Q，使得以B、P、Q为顶点的三角形与△ABF相似，若存在，求P、Q的坐标，并求此时△BPQ的面积；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）D（，）；（3）P（2，﹣2），Q（﹣3，0），S△BPQ=或P（2，2），Q（3，0），S△BPQ=或P（2，﹣5），Q（﹣1，0），S△BPQ=17或P（2，﹣1），Q（5，0），S△BPQ=5．

【解析】试题分析：（1）由对称性和A（2，3），B（4，3），可知抛物线的对称轴是：x=3，利用顶点式列方程组解出可得抛物线的表达式；

（2）如图1，先利用待定系数法求直线AC的解析式，设点D（m，﹣m+6m﹣5），则点E（m，﹣2m+7），根据解析式表示DE和AE的长，由已知的比例式列式得结论；

（3）根据题意得：△BPQ为等腰直角三角形，分三种情况：

①若∠BPQ=90°，BP=PQ，如图2，作辅助线，构建全等三角形，证明△BAP≌△QMP，可得结论；如图3，同理可得结论；

②若∠BQP=90°，BQ=PQ，如图4，证得：△BNQ≌△QMP，则NQ=PM=3，NG=1，BN=5，从而得出结论；如图5，同理易得△QNB≌△PMQ，可得结论；

③若∠PBQ=90°，BQ=BP，如图6，由于AB=2≠NQ=3，此时不存在符合条件的P、Q．

试题解析：解：（1）根据题意，设抛物线表达式为y=a（x﹣3）2+h．

把B（4，3），C（6，﹣5）代入得：，解得：，故抛物线的表达式为：y=﹣（x﹣3）2+4=﹣x2+6x﹣5，即：；

（2）设直线AC的表达式为y=kx+n，则：，解得：k=﹣2，n=7，∴直线AC的表达式为y=﹣2x+7，设点D（m，﹣m2+6m﹣5），2＜m＜6，则点E（m，﹣2m+7），∴DE=（﹣m2+6m﹣5）﹣（﹣2m+7）=﹣m2+8m﹣12，设直线DE与直线AB交于点G，∵AG⊥EG，∴AG=m﹣2，EG=3﹣（﹣2m+7）=2（m﹣2），m﹣2＞0，在Rt△AEG中，∴AE=（m﹣2），由，得=，化简得，2m2﹣11m+14=0，解得：m1=，m2=2（舍去），则D（，）．

（3）根据题意得：△ABF为等腰直角三角形，假设存在满足条件的点P、Q，则△BPQ为等腰直角三角形，分三种情况：

①若∠BPQ=90°，BP=PQ，如图2，过P作MN∥x轴，过Q作QM⊥MN于M，过B作BN⊥MN于N，易证得：△BAP≌△QMP，∴AB=QM=2，PM=AP=3+2=5，∴P（2，﹣2），Q（﹣3，0），在Rt△QMP中，PM=5，QM=2，由勾股定理得：PQ==，∴S△BPQ=PQPB=；

如图3，易证得：△BAP≌△PMQ，∴AB=PM=2，AP=MQ=3﹣2=1，∴P（2，2），Q（3，0），在Rt△QMP中，PM=2，QM=1，由勾股定理得：PQ=，∴S△BPQ=PQPB=；

②若∠BQP=90°，BQ=PQ，如图4，易得：△BNQ≌△QMP，∴NQ=PM=3，NG=PM﹣AG=3﹣2=1，∴BN=MQ=4+1=5，∴P（2，﹣5），Q（﹣1，0），∴PQ==，∴S△BPQ=PQPB==17；

如图5，易得△QNB≌△PMQ，∴NQ=PM=3，∴P（2，﹣1），Q（5，0），∴PQ=，∴S△BPQ=PQPB= =5；

③若∠PBQ=90°，BQ=BP，如图6，过Q作QN⊥AB，交AB的延长线于N，易得：△PAB≌△BNQ，∵AB=2，NQ=3，AB≠NQ，∴此时不存在符合条件的P、Q．

综上所述：P（2，﹣2），Q（﹣3，0），S△BPQ=或P（2，2），Q（3，0），S△BPQ=或P（2，﹣5），Q（﹣1，0），S△BPQ=17或P（2，﹣1），Q（5，0），S△BPQ=5．