Question

【题目】已知点A（﹣1，1）、B（4，6）在抛物线y=ax2+bx上
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，点F的坐标为（0，m）（m＞2），直线AF交抛物线于另一点G，过点G作x轴的垂线，垂足为H．设抛物线与x轴的正半轴交于点E，连接FH、AE，求证：FH∥AE；

（3）如图2，直线AB分别交x轴、y轴于C、D两点．点P从点C出发，沿射线CD方向匀速运动，速度为每秒
个单位长度；同时点Q从原点O出发，沿x轴正方向匀速运动，速度为每秒1个单位长度．点M是直线PQ与抛物线的一个交点，当运动到t秒时，QM=2PM，直接写出t的值．

Answer 1

【答案】
（1）解：将点A（﹣1，1）、B（4，6）代入y=ax2+bx中，

，解得： ，

∴抛物线的解析式为y= x2﹣ x．

（2）证明：设直线AF的解析式为y=kx+m，

将点A（﹣1，1）代入y=kx+m中，即﹣k+m=1，

∴k=m﹣1，

∴直线AF的解析式为y=（m﹣1）x+m．

联立直线AF和抛物线解析式成方程组，

，解得： ， ，

∴点G的坐标为（2m，2m2﹣m）．

∵GH⊥x轴，

∴点H的坐标为（2m，0）．

∵抛物线的解析式为y= x2﹣ x= x（x﹣1），

∴点E的坐标为（1，0）．

设直线AE的解析式为y=k1x+b1，

将A（﹣1，1）、E（1，0）代入y=k1x+b1中，

，解得： ，

∴直线AE的解析式为y=﹣ x+ ．

设直线FH的解析式为y=k2x+b2，

将F（0，m）、H（2m，0）代入y=k2x+b2中，

，解得： ，

∴直线FH的解析式为y=﹣ x+m．

∴FH∥AE．

（3）设直线AB的解析式为y=k0x+b0，

将A（﹣1，1）、B（4，6）代入y=k0x+b0中，

，解得： ，

∴直线AB的解析式为y=x+2．

当运动时间为t秒时，点P的坐标为（t﹣2，t），点Q的坐标为（t，0）．

当点M在线段PQ上时，过点P作PP′⊥x轴于点P′，过点M作MM′⊥x轴于点M′，则△PQP′∽△MQM′，如图2所示．

∵QM=2PM，

∴ = = ，

∴QM′= ，MM′= t，

∴点M的坐标为（t﹣ ， t）．

又∵点M在抛物线y= x2﹣ x上，

∴ t= ×（t﹣ ）2﹣ （t﹣ ），

解得：t= ；

当点M在线段QP的延长线上时，

同理可得出点M的坐标为（t﹣4，2t），

∵点M在抛物线y= x2﹣ x上，

∴2t= ×（t﹣4）2﹣ （t﹣4），

解得：t= ．

综上所述：当运动时间为 秒、 秒、 秒或 秒时，QM=2PM．

【解析】（1）利用待定系数法把A、B坐标代入解析式即可；（2）要证坐标系中的两直线平行，可求两直线的解析式，斜率k相等，两直线平行，常数b可不必求出；（3）须动手画出点M与线段PQ的两种相对位置，分类讨论，斜线段QM与PM的比，通过作垂线，转化为x轴上水平线段的比，构建方程，求出t.
【考点精析】解答此题的关键在于理解二次函数的图象的相关知识，掌握二次函数图像关键点：1、开口方向2、对称轴 3、顶点 4、与x轴交点 5、与y轴交点．