Question

【题目】如图，已知直线y=x+k和双曲线y= （k为正整数）交于A，B两点．

（1）当k=1时，求A、B两点的坐标；
（2）当k=2时，求△AOB的面积；
（3）当k=1时，△OAB的面积记为S1 ， 当k=2时，△OAB的面积记为S2 ， …，依此类推，当k=n时，△OAB的面积记为Sn ， 若S1+S2+…+Sn= ，求n的值．

Answer 1

【答案】
（1）解：当k=1时，直线y=x+k和双曲线y= 化为：y=x+1和y= ，

解 得 ， ，

∴A（1，2），B（﹣2，﹣1）

（2）解：当k=2时，直线y=x+k和双曲线y= 化为：y=x+2和y= ，

解 得 ， ，

∴A（1，3），B（﹣3，﹣1）

设直线AB的解析式为：y=mx+n，

∴

∴ ，

∴直线AB的解析式为：y=x+2

∴直线AB与y轴的交点（0，2），

∴S△AOB= ×2×1+ ×2×3=4；

（3）解：当k=1时，S1= ×1×（1+2）= ，

当k=2时，S2= ×2×（1+3）=4，

…

当k=n时，Sn= n（1+n+1）= n2+n，

∵S1+S2+…+Sn= ，

∴ ×（ …+n2）+（1+2+3+…n）= ，

整理得： ，

解得：n=6．

【解析】（1）两图像的交点就是求联立的方程组的解；（2）斜三角形△AOB的面积可转化为两水平（或竖直）三角形（有一条边为水平边或竖直边的三角形称为水平或竖直三角形）的面积和或差；（3）利用n个数的平方和公式和等差数列的和公式可求出.