Question

【题目】如图，AB是⊙O的直径，AC是弦．
（1）请你按下面步骤画图（画图或作辅助线时先使用铅笔画出，确定后必须使用黑色字迹的签字笔描黑）； 第一步，过点A作∠BAC的角平分线，交⊙O于点D；
第二步，过点D作AC的垂线，交AC的延长线于点E．
第三步，连接BD．
（2）求证：AD2=AEAB；
（3）连接EO，交AD于点F，若5AC=3AB，求 的值．

Answer 1

【答案】
（1）解：如图；

（2）证明：∵AB是⊙O的直径，

∴∠ADB=90°，

而DE⊥AC，

∴∠AED=90°，

∵AD平分∠CAB，

∴∠CAD=∠DAB，

∴Rt△ADE∽Rt△ABD，

∴AD：AB=AE：AD，

∴AD2=AEAB；

（3）解：连OD、BC，它们交于点G，如图，

∵5AC=3AB，即AC：AB=3：5，

∴不妨设AC=3x，AB=5x，

∵AB是⊙O的直径，

∴∠ACB=90°，

又∵∠CAD=∠DAB，

∴弧DC=弧DB，

∴OD垂直平分BC，

∴OD∥AE，

∴OG= AC= x，∠AED=90°，

∴四边形ECGD为矩形，

∴CE=DG=OD﹣OG= x﹣ x=x，

∴AE=AC+CE=3x+x=4x，

∵AE∥OD，

∴△AEF∽△DOF，

∴AE：OD=EF：OF，

∴EF：OF=4x： x=8：5，

∴ ．

【解析】（1）根据基本作图作出∠BAC的角平分线AD交⊙O于点D；点D作AC的垂线，垂足为点E；（2）根据直径所对的圆周角为直角得到∠ADB=90°，而DE⊥AC，则∠AED=90°，又由AD平分∠CAB得到∠CAD=∠DAB，根据相似三角形的判定得到Rt△ADE∽Rt△ABD，根据相似的性质得到AD：AB=AE：AD，利用比例的性质即可得到AD2=AEAB；（3）连OD、BC，它们交于点G，由5AC=3AB，则不妨设AC=3x，AB=5x，根据直径所对的圆周角为直角得到∠ACB=90°，由∠CAD=∠DAB得到弧DC=弧DB，根据垂径定理的推论得到OD垂直平分BC，则有OD∥AE，OG= AC= x，并且得到四边形ECGD为矩形，则CE=DG=OD﹣OG= x﹣ x=x，可计算出AE=AC+CE=3x+x=4x，利用AE∥OD可得到△AEF∽△DOF，则AE：OD=EF：OF，即EF：OF=4x： x=8：5，然后根据比例的性质即可得到 的值．