Question

【题目】如图，二次函数y=ax2+bx（a≠0）的图象经过点A（1，4），对称轴是直线x=﹣ ，线段AD平行于x轴，交抛物线于点D．在y轴上取一点C（0，2），直线AC交抛物线于点B，连结OA，OB，OD，BD．

（1）求该二次函数的解析式；
（2）求点B坐标和坐标平面内使△EOD∽△AOB的点E的坐标；
（3）设点F是BD的中点，点P是线段DO上的动点，问PD为何值时，将△BPF沿边PF翻折，使△BPF与△DPF重叠部分的面积是△BDP的面积的 ？

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵y=ax2+bx（a≠0）的图象经过点A（1，4），且对称轴是直线x=﹣ ，

∴ ，

解得： ，

∴二次函数的解析式为y=x2+3x

（2）

解：如图1，

∵点A（1，4），线段AD平行于x轴，

∴D的纵坐标为4，

∴4=x2+3x，

∴x1=﹣4，x2=1，

∴D（﹣4，4）．

设直线AC的解析式为y=kx+b，由题意，得

，

解得： ，

∴y=2x+2；

当2x+2=x2+3x时，

解得：x1=﹣2，x2=1（舍去）．

∴y=﹣2．

∴B（﹣2，﹣2）．

∴DO=4 ，BO=2 ，BD=2 ，OA= ．

∴DO2=32，BO2=8，BD2=40，

∴DO2+BO2=BD2，

∴△BDO为直角三角形．

∵△EOD∽△AOB，

∴∠EOD=∠AOB， ，

∴∠AOB﹣∠AOD=∠EOD﹣∠AOD，

∴∠BOD=∠AOE=90°．

即把△AOB绕着O点顺时针旋转90°，OB落在OD上B′，OA落在OE上A1

∴A1（4，﹣1），

∴E（8，﹣2）．

作△AOB关于x轴的对称图形，所得点E的坐标为（2，﹣8）．

∴当点E的坐标是（8，﹣2）或（2，﹣8）时，△EOD∽△AOB

（3）

解：由（2）知DO=4 ，BO=2 ，BD=2 ，∠BOD=90°．

若翻折后，点B落在FD的左下方，连接B′P与BD交于点H，连接B′D，如图2．

S△HFP= S△BDP= S△DPF= S△B′PF=S△DHP=S△B′HF，

∴DH=HF，B′H=PH，

∴在平行四边形B′FPD中，PD=B′F=BF= BD= ；

若翻折后，点B，D重合，S△HFP= S△BDP，不合题意，舍去．

若翻折后，点B落在OD的右上方，连接B′F交OD于点H，连接B′D，如图3，

S△HFP= S△BDP= S△BPF= S△DPF= S△B′PF=S△DHF=S△B′HP

∴B′P=BP，B′F=BF，DH=HP，B′H=HF，

∴四边形DFPB′是平行四边形，

∴B′P=DF=BF，

∴B′P=BP=B′F=BF，

∴四边形B′FBP是菱形，

∴FD=B′P=BP= BD= ，根据勾股定理，得

OP2+OB2=BP2，

∴（4 ﹣PD）2+（2 ）2=（ ）2，

解得PD=3 ，PD=5 ＞4 （舍去），

综上所述，PD= 或PD=3 时，将△BPF沿边PF翻折，使△BPF与△DPF重叠部分的面积是△BDP的面积的 ．

【解析】（1）运用待定系数法和对称轴的关系式求出a、b的即可；（2）由待定系数法求出直线AC的解析式，由抛物线的解析式构成方程组就可以求出B点的坐标，由相似三角形的性质及旋转的性质就可以得出E的坐标；（3）分情况讨论当点B落在FD的左下方，点B，D重合，点B落在OD的右上方，由三角形的面积公式和菱形的性质的运用就可以求出结论．
【考点精析】解答此题的关键在于理解二次函数的性质的相关知识，掌握增减性：当a>0时，对称轴左边，y随x增大而减小；对称轴右边，y随x增大而增大；当a<0时，对称轴左边，y随x增大而增大；对称轴右边，y随x增大而减小．