Question

【题目】如图，已知等边△ABC，AB=12，以AB为直径的半圆与BC边交于点D，过点D作DF⊥AC，垂足为F，过点F作FG⊥AB，垂足为G，连结GD．
（1）求证：DF是⊙O的切线；
（2）求FG的长；
（3）求tan∠FGD的值．

Answer 1

【答案】
（1）证明：连结OD，如图，

∵△ABC为等边三角形，

∴∠C=∠A=∠B=60°，

而OD=OB，

∴△ODB是等边三角形，∠ODB=60°，

∴∠ODB=∠C，

∴OD∥AC，

∵DF⊥AC，

∴OD⊥DF，

∴DF是⊙O的切线

（2）解：∵OD∥AC，点O为AB的中点，

∴OD为△ABC的中位线，

∴BD=CD=6．

在Rt△CDF中，∠C=60°，

∴∠CDF=30°，

∴CF= CD=3，

∴AF=AC﹣CF=12﹣3=9，

在Rt△AFG中，∵∠A=60°，

∴FG=AF×sinA=9× =

（3）解：过D作DH⊥AB于H．

∵FG⊥AB，DH⊥AB，

∴FG∥DH，

∴∠FGD=∠GDH．

在Rt△BDH中，∠B=60°，

∴∠BDH=30°，

∴BH= BD=3，DH= BH=3 ．

在Rt△AFG中，∵∠AFG=30°，

∴AG= AF= ，

∵GH=AB﹣AG﹣BH=12﹣ ﹣3= ，

∴tan∠GDH= = = ，

∴tan∠FGD=tan∠GDH= ．

【解析】（1）连结OD，根据等边三角形的性质得∠C=∠A=∠B=60°，而OD=OB，所以∠ODB=60°=∠C，于是可判断OD∥AC，又DF⊥AC，则OD⊥DF，根据切线的判定定理可得DF是⊙O的切线；（2）先证明OD为△ABC的中位线，得到BD=CD=6．在Rt△CDF中，由∠C=60°，得∠CDF=30°，根据含30度的直角三角形三边的关系得CF= CD=3，所以AF=AC﹣CF=9，然后在Rt△AFG中，根据正弦的定义计算FG的长；（3）过D作DH⊥AB于H，由垂直于同一直线的两条直线互相平行得出FG∥DH，根据平行线的性质可得∠FGD=∠GDH．解Rt△BDH，得BH= BD=3，DH= BH=3 ．解Rt△AFG，得AG= AF= ，则GH=AB﹣AG﹣BH= ，于是根据正切函数的定义得到tan∠GDH= = ，则tan∠FGD可求．