Question

【题目】△ABC中，AD⊥BC，AE平分∠BAC交BC于点E．

（1）若∠B=20°，∠C=80°，求∠EAC和∠EAD的大小．

（2）若∠C＞∠B，由（1）的计算结果，你能发现∠EAD与∠C﹣∠B的数量关系吗？写出这个关系式，并加以证明．

Answer 1

【答案】（1）40，30°；（2）结论：∠EAD=（∠C﹣∠B），理由见解析.

【解析】

(1)由三角形内角和定理可求得∠BAC的度数，在Rt△ACD中，可求得∠DAC的度数，AE是角平分线，有∠EAC=∠BAC，故∠EAD=∠EAC-∠DAC；

(2)由(1)知，用∠C和∠B表示出∠EAD，即可知∠EAD与(∠C-∠B)的关系．

解：（1）∵∠B=20°，∠C=80°，

∴∠BAC=180°﹣∠B﹣∠C=80°，

∵AE平分∠BAC，

∴∠EAC=∠BAC=40°，

∵AD⊥BC，

∴∠ADC=90°，

∵∠C=80°，

∴∠CAD=90°﹣∠C=10°，

∴∠EAD=∠EAC﹣∠CAD=40°﹣10°=30°；

（2）结论：∠EAD=（∠C﹣∠B）．

理由：∵三角形的内角和等于180°，

∴∠BAC=180°﹣∠B﹣∠C，

∵AE平分∠BAC，

∴∠EAC=∠BAC=（180°﹣∠B﹣∠C），

∵AD⊥BC，

∴∠ADC=90°，

∴∠CAD=90°﹣∠C，

∴∠EAD=∠EAC﹣∠CAD=（180°﹣∠B﹣∠C）﹣（90°﹣∠C）

=∠C﹣∠B=（∠C﹣∠B）．

故答案为：（1）40，30°；（2）结论：∠EAD=（∠C﹣∠B）.