Question

【题目】如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝－x＋3与x轴交于点C，与直线AD交于点A(， )，点D的坐标为（0，1）．

（1）求直线AD的解析式；

（2）直线AD与x 轴交于点B，若点E是直线AD上一动点（不与点B重合），当△BOD与△BCE相似时，求点E的坐标．

Answer 1

【答案】（1）求直线AD的解析式y=x+1；（2）点E的坐标(2，2)或(3， )．

【解析】试题分析：

(1) 利用点A和点D的坐标，结合一次函数的一般形式，通过待定系数法获得关于待定系数的方程，求解这些方程进而可以写出直线AD的解析式.

(2) 根据题意和相似三角形的相关知识可知，本小题应按∠BOD=∠BEC=90°和∠BOD=∠BCE=90°分为两种情况进行讨论. 在第一种情况下，可以过点E作x轴的垂线EF，利用相似三角形的关系，求得线段EC的长，进而在Rt△EFC中利用勾股定理和点E的坐标特征获得相关的方程，求解这一方程即可获得点E的坐标. 在第二种情况下，可以利用EC垂直于x轴的关系直接得到点E的横坐标值，将点E的横坐标代入直线AD的解析式即可得到点E的纵坐标值，进而写出点E的坐标.

试题解析：

(1) 设直线AD的解析式为y=kx+b (k≠0).

将点A和点D的坐标分别代入直线AD的解析式，得

，

解之，得

，

∴直线AD的解析式为.

(2) 根据题意，分别对下面两种情况进行讨论.

①∠BOD=∠BEC=90°，即△BOD∽△BEC.

如图①，过点E作EF⊥BC，垂足为F.

设点E的坐标为(m, n).

∵点E在直线AD上，

∴.

∴点E的坐标为(m, ).

∴OF=m，EF=.

∵直线y=-x+3与x轴交于点C，

又∵当y=0时，-x+3=0，即x=3，

∴点C的坐标为(3, 0)，

∴OC=3.

同理，点B的坐标为(-2, 0).

∴OB=2.

∴BC=OB+OC=2+3=5.

∵点D的坐标为(0, 1)，

∴OD=1.

∴在Rt△BOD中， .

∵△BOD∽△BEC，

∴.

∴.

∵OF=m，EF=.

∴FC=OC-OF=3-m.

∵在Rt△EFC中，EC2=EF2+FC2，

∴，

∴m=2.

∴.

∴点E的坐标为(2, 2).

②∠BOD=∠BCE=90°，即△BOD∽△BCE.

设点E的坐标为(m, n).

∵∠BCE=90°，OC=3，

∴m=3.

∵点E在直线AD上，

∴当m=3时， .

∴点E的坐标为(3, ).

综上所述，点E的坐标为(2, 2)或(3, ).