Question

【题目】如图，点O是等边△ABC内一点，D是△ABC外的一点，∠AOB＝110°，∠BOC＝，△BOC≌△ADC，∠OCD＝60°，连接OD．

（1）求证：△OCD是等边三角形；

（2）当α＝150°时，试求证：△AOD是直角三角形；

（3）△AOD能否为等边三角形？为什么？

（4）探究：当α为多少度时，△AOD是等腰三角形．（直接写出答案）

Answer 1

【答案】(1)见解析；
(2)△AOD是Rt△.理由见解析；
(3)不能.理由：见解析；
(4)当α=110°或125°或140°时，△AOD是等腰三角形.

【解析】

（1）根据全等三角形的性质得到OC=DC，根据等边三角形的判定定理证明即可；
（2）根据全等三角形的性质得到∠ADC=∠BOC=∠α=150°，结合图形计算即可；
（3）用反证法，假设△AOD能否为等边三角形，根据题意证明∠AOC+∠AOB+∠BOC不等于360°，推出矛盾；
（4）分∠AOD=∠ADO、∠AOD=∠OAD、∠ADO=∠OAD三种情况，根据等腰三角形的判定定理计算即可．

(1)证明：∵△BOC≌△ADC，
∴OC=DC.
∵∠OCD=60°，
∴△OCD是等边三角形；
(2)△AOD是Rt△.
理由如下：
∵△OCD是等边三角形，
∴∠ODC=60°，
∵△BOC≌△ADC,∠α=150°，
∴∠ADC=∠BOC=∠α=150°，
∴∠ADO=∠ADC∠ODC=150°60°=90°，
∴△AOD是Rt△；
(3)不能.理由：
由△BOC≌△ADC，得∠ADC=∠BOC=∠α.
若△AOD为等边三角形，
则∠ADO=60°，
又∵∠ODC=60°，
∴∠ADC=∠α=120°.
又∵∠AOD=∠DOC=60°，
∴∠AOC=120°，
又∵∠AOB=110°，
∴∠AOC+∠AOB+∠BOC=120°+120°+110°=350°<360°.
∴△AOD不可能为等边三角形；
(4)∵△OCD是等边三角形，
∴∠COD=∠ODC=60°.
∵∠AOB=110°，∠ADC=∠BOC=α，
∴∠AOD=360°∠AOB∠BOC∠COD=360°110°α60°=190°α，
∠ADO=∠ADC∠ODC=α60°，
∴∠OAD=180°∠AOD∠ADO=180°(190°α)(α60°)=50°.
①当∠AOD=∠ADO时,190°α=α60°,∴α=125°.
②当∠AOD=∠OAD时,190°α=50°,∴α=140°.
③当∠ADO=∠OAD时,α60°=50°,∴α=110°.
综上所述：当α=110°或125°或140°时，△AOD是等腰三角形.