Question

【题目】已知⊙O的直径为10，点A，点B，点C在⊙O上，∠CAB的平分线交⊙O于点D．

（1）如图①，若BC为⊙O的直径，AB=6，求AC，BD，CD的长；

（2）如图②，若∠CAB=60°，求BD的长．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）AC =8；BD=CD=5；（Ⅱ）BD=5．

【解析】试题分析：(1)、根据直径得出∠CAB=∠BDC=90°，然后根据Rt△CAB的勾股定理得出AC的长度，然后根据等腰直角△BDC求出BD和CD的长度；(2)、连接OB，OD，根据AD平分∠CAB，且∠CAB=60°得出∠DOB=2∠DAB=60°，从而得出△OBD为等边三角形，从而得出BD的长度.

试题解析：(1)、如图①，∵BC是⊙O的直径，∴∠CAB=∠BDC=90°．

∵在直角△CAB中，BC=10，AB=6， ∴由勾股定理得到：AC===8．

∵AD平分∠CAB， ∴=，∴CD=BD．

在直角△BDC中，BC=10，CD2+BD2=BC2，∴易求BD=CD=5；

(2)、如图②，连接OB，OD． ∵AD平分∠CAB，且∠CAB=60°，∴∠DAB=∠CAB=30°，∴∠DOB=2∠DAB=60°．

又∵OB=OD，∴△OBD是等边三角形，∴BD=OB=OD．∵⊙O的直径为10，则OB=5， ∴BD=5．