Question

【题目】如图，在直角△ABC中，∠ABC=90°，点M是AC的中点，以AB为直径作⊙O分别交AC，BM于点D，E．

（1）求证：MD=ME；

（2）填空：连接OE，OD，当∠A的度数为 时，四边形ODME是菱形．

Answer 1

【答案】(1)证明过程见解析；(2)60°.

【解析】

试题分析：(1)、利用直角三角形斜边上的中线性质得MA=MB，则∠A=∠MBA，再利用圆内接四边形的性质证明∠MDE=∠MED，于是得到MD=ME；(2)、先证明△OAD和△OBE为等边三角形，再证明四边形DOEM为平行四边形，然后加上OD=OE可判断四边形ODME是菱形．

试题解析：(1)、在Rt△ABC中，点M是AC的中点， ∴MA=MB， ∴∠A=∠MBA；

∵四边形ABED是圆内接四边形， ∴∠ADE+∠ABE=180°， 而∠ADE+∠MDE=180°，

∴∠MDE=∠MBA； 同理可得∠MED=∠A， ∴∠MDE=∠MED， ∴MD=ME；

(2)、当∠A=60°时， 则∠ABM=60°， ∴△OAD和△OBE为等边三角形， ∴∠BOE=60°，

∴∠BOE=∠A， ∴OE∥AC， 同理可得OD∥BM， ∴四边形DOEM为平行四边形，

而OD=OE， ∴四边形ODME是菱形．