Question

【题目】已知函数y=|x2﹣x﹣2|，直线y=kx+4恰好与y=|x2﹣x﹣2|的图象只有三个交点，则k的值为_____．

Answer 1

【答案】1﹣2或﹣2

【解析】

直线y=kx+4与抛物线y=-x2+x+2（-1≤x≤2）相切时，直线y=kx+4与y=|x2-x-2|的图象恰好有三个公共点，即-x2+x+2=kx+4有相等的实数解，利用根的判别式的意义可求出此时k的值，另外当y=kx+4过（2，0）时，也满足条件．

解：当y=0时，x2-x-2=0，解得x1=-1，x2=2，
则抛物线y=x2-x-2与x轴的交点为（-1，0），（2，0），
把抛物线y=x2-x-2图象x轴下方的部分沿x轴翻折到x轴上方，
则翻折部分的抛物线解析式为y=-x2+x+2（-1≤x≤2），
当直线y=kx+4与抛物线y=-x2+x+2（-1≤x≤2）相切时，
直线y=kx+4与函数y=|x2-x-2|的图象恰好有三个公共点，
即-x2+x+2=kx+4有相等的实数解，整理得x2+（k-1）x+2=0，△=（k-1）2-8=0，
解得k=1±2 ，
所以k的值为1+2或1-2．
当k=1+2时，经检验，切点横坐标为x=-＜-1不符合题意，舍去．
当y=kx+4过（2，0）时，k=-2，也满足条件，

故答案为1-2或-2．