Question

【题目】如图，AB∥CD，定点E，F分别在直线AB，CD上，在平行线AB、CD之间有一动点P，满足0°<∠EPF<180°.

（1）试问∠AEP，∠EPF，∠PFC满足怎样的数量关系？

解：由于点P是平行线AB、CD之间有一动点，因此需要对点P的位置进行分类讨论；如图1，当P点在EF的左侧时，∠AEP，∠EPF，∠PFC满足数量关系为______________，如图2，当P点在EF的右侧时，∠AEP，∠EPF，∠PFC满足数量关系为______________。

（2）如图3，QE，QF分别平分∠PEB和∠PFD，且点P在EF左侧.

①若∠EPF=60°，则∠EQF=_______°.

②猜想∠EPF与∠EQF的数量关系，并说明理由.

③如图4，若∠BEQ与∠DFQ的角平分线交于点Q1，∠BEQ1与∠DFQ1的角平分线交于点Q2，∠BEQ2与∠DFQ2的角平分线交于点Q3，此次类推，则∠EPF与∠EQ2018F满足怎样的数量关系？（直接写出结果）

Answer 1

【答案】（1）∠AEP+∠PFC=∠EPF，∠AEP+∠PFC+∠EPF=360°；

（2）①150；

②∠EPF与∠EQF的数量关系为∠EPF+2∠EQF=360°，理由详见解析；

③∠EPF+22019∠EQ2018F=360°.

【解析】

（1）如图1，过点P作PH∥AB，证得 AB∥PH∥CD，然后根据平行线的性质证得结论，如图2，过点P作PH∥AB，证得AB∥PH∥CD ，然后根据平行线的性质证得结论；

（2）①如图3，过点P作PH∥AB，过点Q作QG∥AB，然后根据平行线的性质得到∠EPF=∠AEP+∠CFP，∠EQF=∠BEQ+∠DFQ ，由∠EPF=60°，QE，QF分别平分∠PEB和∠PFD，即可求得结论；

②同①即可得结论；

③由（2）②知∠EPF+2∠EQF=360°，进而∠EPF+22∠EQ1F=360°，

∠EPF+23∠EQ2F=360°，由规律即可求得结论.

（1）如图1，过点P作PH∥AB，

∵AB∥CD，PH∥AB，∴AB∥PH∥CD，

∴∠AEP=∠EPH，∠PFC=∠FPH，

∵∠EPF=∠EPH+∠FPH，

∴∠EPF=∠AEP+∠PFC，

如图2，过点P作PH∥AB，

∵AB∥CD，PH∥AB，

∴AB∥PH∥CD，

∴∠AEP+∠EPH=180°，∠CFP+∠FPH=180°，

∵∠EPF=∠EPH+∠FPH，

∴∠AEP+∠PFC+∠EPF=360°.

故答案为∠AEP+∠PFC=∠EPF，∠AEP+∠PFC+∠EPF=360°；

（2）①如图3，过点P作PH∥AB，过点Q作QG∥AB，

∵AB∥CD，PH∥AB，

∴AB∥PH∥CD，

∴∠AEP=∠EPH，∠PFC=∠FPH，

∵∠EPF=∠EPH+∠FPH，

∴∠EPF=∠AEP+∠PFC，

同理：∠EQF=∠BEQ+∠DFQ，

∵∠EPF=60°，

∴∠AEP+∠PFC=60°，

∴∠BEP+∠DEP=300°，

∵QE，QF分别平分∠PEB和∠PFD，

∴∠BEQ+∠DFQ=150°,

∴∠EQF=150°；

（2）②∠EPF与∠EQF的数量关系为∠EPF+2∠EQF=360°，

理由：

由（1）和（2）①可知∠EPF+∠BEP+∠DFP=360°，∠EQF=∠BEQ+∠DFQ，

∵QE，QF分别平分∠PEB和∠PFD，

∴∠BEP=2∠BEQ，∠DFP=2∠DFQ，

∴∠BEP+∠DFP=2（∠BEQ+∠DFQ）=2∠EQF，

∴∠EPF+2∠EQF=360°；

（3）由（2）②知∠EPF+2∠EQF=360°，

同理可证：∠EPF+22∠EQ1F=360°，

∠EPF+23∠EQ2F=360°，

……

∠EPF+22019∠EQ2018F=360°，

故答案为∠EPF+22019∠EQ2018F=360°.