Question

【题目】如图，MN∥BC，BD⊥DC，∠1=∠2=60°．

（1）AB 与 DE 平行吗？请说明理由；

（2）若 DC 是∠NDE 的平分线．

①试说明∠ABC=∠C；

②试说明 BD 是∠ABC 的平分线．

Answer 1

【答案】（1）AB∥DE，理由见解析；（2）见解析.

【解析】（1）首先根据平行线的性质，两直线平行，内错角相等即可证得∠ABC=∠1=60°，进而证明∠ABC=∠2，根据同位角相等，两直线平行，即可证得；
（2）①根据平行线的性质，两直线平行，同旁内角互补求得∠NDE的度数，然后根据角平分线的定义，以及平行线的性质即可求得∠C的度数，从而判断；
②在直角△BCD中，求得∠DBC的度数，然后求得∠ABD的度数，即可证得．

（1）AB∥DE，理由如下：

∵MN∥BC（ 已知 ），

∴∠ABC=∠1=60°（ 两直线平行，内错角相等 ）.

又∵∠1=∠2（ 已知 ）.

∴∠ABC=∠2（ 等量代换 ）.

∴AB∥DE（ 同位角相等，两直线平行 ）；

（2）①∵MN∥BC，

∴∠NDE+∠2=180°，

∴∠NDE=180°﹣∠2=180°﹣60°=120°．

∵DC 是∠NDE 的平分线，

∴∠EDC=∠NDC=∠NDE=60°．

∵MN∥BC，

∴∠C=∠NDC=60°．

∴∠ABC=∠C．

②∠ADC=180°﹣∠NDC=180°﹣60°=120°，

∵BD⊥DC，

∴∠BDC=90°．

∴∠ADB=∠ADC﹣∠BDC=120°﹣90°=30°．

∵MN∥BC，

∴∠DBC=∠ADB=30°．

∴∠ABD=∠DBC=∠ABC．

∴BD 是∠ABC 的平分线．