Question

【题目】如图，已知 MN∥PQ，B 在 MN 上，C 在 PQ 上，A 在 B 的左侧，D 在 C 的右侧，DE 平分∠ADC，BE平分∠ABC，直线 DE，BE 交于点 E，∠CBN=120°．

（1）若∠ADQ=110°，求∠BED 的度数；

（2）将线段 AD 沿 DC 方向平移，使得点 D 在点 C 的左侧，其他条件不变，若∠ADQ=n°，求∠BED 的度数（用含 n 的代数式表示）

Answer 1

【答案】（1）65°；（2）∠BED=210°﹣（n）°或（n）°﹣30°或 30°﹣（n）°．

【解析】（1）如图1中，延长DE交MN于H．利用∠BED=∠EHB+∠EBH，即可解决问题；
（2）分三种情形讨论即可解决问题．

（1）如图 1 中，延长 DE 交 MN 于 H．

∵∠ADQ=110°，ED 平分∠ADP，

∴∠PDH=∠PDA=35°，

∵PQ∥MN，

∴∠EHB=∠PDH=35°，

∵∠CBN=120°，EB 平分∠ABC，

∴∠EBH=∠ABC=30°，

∴∠BED=∠EHB+∠EBH=65°．

（2）有 3 种情形，如图 2 中，当点 E 在直线 MN 与直线 PQ 之间时．延长 DE 交 MN 于 H．

∵PQ∥MN，

∴∠QDH=∠DHA=n°，

∴∠BED=∠EHB+∠EBH=180°﹣（n）°+30°=210°﹣（n）°，

当点 E 在直线 MN 的下方时，如图 3 中，

设 DE 交 MN 于 H．

∵∠PBC=∠ABP=30°，

∴∠HBE=∠ABP=30°（对顶角）.

∵∠ADH=∠CDH=（n）°，

∴∠CDH=∠DHB=（n）°(两直线平行，内错角相等).

又∵∠DHB=∠HBE+∠HEB，

∴∠BED=（n）°﹣30°，

当点 E 在 PQ 上方时，如图 4 中，

设 PQ 交 BE 于 H．同法可得∠BED=30°﹣（n）°．

综上所述，∠BED=210°﹣（n）°或（n）°﹣30°或 30°﹣（n）°．