Question

【题目】如图，△ABC是等边三角形，D是三角形外一动点，满足∠ADB=600，

（1）当D点在AC的垂直平分线上时，求证： DA+DC=DB.

（2）当D点不在AC的垂直平分线上时，（1）中的结论是否仍然成立？请说明理由.

（3）当D点在如图的位置时，直接写出DA，DC，DB的数量关系，不必证明.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）DA+DC=DB结论成立，证明见解析；（3）DA=DB+DC．

【解析】试题分析：（1）由D点在AC的垂直平分线上，可得AD=CD，又由∠ADB=60°，△ABC是等边三角形，可得△ABD是含30°角的直角三角形，继而证得结论；
（2）首先在DB上截取DE=AD，可证得△ADE是等边三角形，又由△ABC是等边三角形，易证得△BAE≌△CAD（SAS），继而证得结论．

（3）DA=DB+DC．

试题解析：证明：（1）∵D点在AC的垂直平分线上，
∴AD=CD，
∴∠DAC=∠DCA，∠ADB=∠CDB=60°，
∴∠DAC=30°，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠BAC=60°，
∴∠BAD=90°，
∴∠ABD=90°-∠ADB=30°，
∴BD=2AD=AD+CD；
（2）成立．
理由：在DB上截取DE=AD，

∵∠ADB=60°，
∴△ADE是等边三角形，
∴AE=AD，∠EAD=60°，
∵△ABC是等边三角形，
∴AB=AC，∠BAC=60°，
∴∠BAE=∠CAD，
在△BAE和△CAD中，
，
∴△BAE≌△CAD（SAS），
∴BE=CD，
∴BD=DE+BE=AD+CD．

（3）DA=DB+DC．