Question

【题目】已知：如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，M为CD中点，AM平分∠DAB，AD＋BC＝AB．求证：BM平分∠ABC．

小淇证明过程如下：

延长BC至点F，使得CF＝AD，连接MF．

∵ AD∥BC， ∴ ∠D＝∠MCF．

∵ M为CD中点，∴ DM＝CM．

在△ADM和△FCM中，

∴ △ADM≌△FCM（SAS）． ∴ AM＝FM．

∵ BF＝BC＋CF＝BC＋AD＝AB，∴ △ABF是等腰三角形．

∴ BM平分∠ABC（等腰三角形底边上的中线与顶角的角平分重合）．

（1）请你简要叙述小淇证明方法的错误之处；

（2）若AB＝5，AM＝3，求四边形ABCD面积．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）12.

【解析】

（1）根据题中的证明过程可知错误之处在于没有证明A，M，F三点共线；

（2）延长AM、BC交于点F，先证明△ADM≌△FCM，再证明△ABF是等腰三角形，利用三线合一的性质可得BM⊥AF，然后求出BM和AF可得△ABF的面积，再证明四边形ABCD面积等于△ABF的面积即可.

解：（1）小淇证明方法的错误之处在于没有证明A，M，F三点共线，故无法运用等腰三角形三线合一的性质证明BM平分∠ABC；

（2）如图，延长AM、BC交于点F．

∵AD∥BC，

∴∠D＝∠MCF，

在△ADM和△FCM中，，

∴△ADM≌△FCM（ASA），

∴AD＝CF，AM＝MF，S△ADM=S△FCM，

∵AD＋BC＝AB，

∴BC＋CF＝BC＋AD＝BF＝AB，

∵AB＝BF，AM＝MF，

∴BM⊥AF，

∵AB＝5，AM＝3，

∴BM=4，AF=6，

∴S△ABF=，

∴四边形ABCD面积=S四边形ABCM + S△ADM= S四边形ABCM+ S△FCM= S△ABF=12.