Question

【题目】如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与y轴交于点C（0，4），与x轴交于点A和点B，其中点A的坐标为（﹣2，0），抛物线的对称轴x=1与抛物线交于点D，与直线BC交于点E．

（1）求抛物线的解析式；
（2）若直线BC的函数解析式为y’=kx+b,求当满足y<y’时，自变量x的取值范围.
（3）平行于DE的一条动直线l与直线BC相交于点P，与抛物线相交于点Q，若以D、E、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，求点P的坐标．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）过点C（0，4），

∴c=4 ①．

∵对称轴x=- =1，

∴b=-2a ②．

∵抛物线过点A（-2，0），

∴0=4a-2b+c ③，

由①②③解得，a=- ，b=1，c=4，

∴抛物线的解析式为y=- x2+x+4；

（2）解：∵A（﹣2，0），对称轴x=1，

∴B（4，0）

根据图像，得x<0 或x>4时，y

（3）解：已知DE∥PQ，当DE=PQ时，以D、E、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，

设点P的坐标是（m，﹣m+4），则点Q的坐标是（m，﹣ m2+m+4），

∴|﹣m+4+ m2﹣m﹣4|=DE= ，

∴m=1，m=3，m= ，m=

当m=1时，线段PQ与DE重合，舍去．

∴P1（3，1），

P2（ ， ），

P3（ ， ）.

【解析】（1）方法一、根据点C的坐标可求得c=4，根据对称轴x=1，得出b=-2a ，将点A的坐标代入解析式得出0=4a-2b+c ，联立求解，即可求出函数解析式。方法二、根据二次函数的对称性，由点A的坐标及抛物线的对称轴x=1，求出点B的坐标，然后设函数解析式为交点式，再将点C的坐标代入求出a的值，即可求出函数解析式。
（2）先求出点B的坐标，根据点A、B的坐标，观察函数图像要使y<y’时，就要观察抛物线低于直线BC的部分，即可求出结果。
（3）抓住已知条件平行于DE的一条动直线l，可知DE∥PQ，点P和点Q的横坐标相等，要证以D、E、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，只需证得DE=PQ即可。先根据点P和点Q的横坐标相等，分别设出两点坐标，再根据DE=PQ建立方程，求解即可求得点P的坐标。
【考点精析】通过灵活运用平行四边形的判定与性质，掌握若一直线过平行四边形两对角线的交点，则这条直线被一组对边截下的线段以对角线的交点为中点，并且这两条直线二等分此平行四边形的面积即可以解答此题．