Question

【题目】如图，直线y＝－x＋4与x轴、y轴分别交于A、B两点，直线BC与x轴、y轴分别交于C、B两点，连接BC，且．

（1）求点A的坐标及直线BC的函数关系式；

（2）点M在x轴上，连接MB，当∠MBA+∠CBO=45°时，求点M的坐标；

（3）若点P在x轴上，平面内是否存在点Q，使点B、C、P、Q为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）A（4，0）,lBC： ;（2）M1（3，0）, ;（3）Q1（－5，4）,Q2（5，4）, Q3（0，－4）,Q4.

【解析】试题分析: （1）首先求出A、B、C三点坐标，再利用待定系数法求出直线BC的解析式即可．

（2）当点M在点A的左边时，可以证明BC=BM，OC=OM=3，推出M（3，0），作点M关于直线AB的对称点N，作直线BN交x轴于M1，则∠M1BA=∠MBA，点M1满足条件，求出直线BN的解析式即可解决问题．

（3）画出图形，分两种情形讨论即可①当BC为菱形的边时，四边形CP1Q1B，四边形CP3Q3B，四边形BCQ2P2是菱形，②当BC是菱形的对角线时，四边形CP4BQ4是菱形．

试题解析:

(1)对于直线y=x+4，令x=0的y=4，令y=0得x=4，

∴A(4,0),B(0,4)，

∴OB=OA=4，

∵OC=OB，

∴OC=3，

∴C(3,0)，

设直线BC的解析式为y=kx+b,则有，

解得，

∴直线BC的解析式为y=x+4.

(2)如图1中，

当点M在点A的左边时，

∵OB=OA=4,∠AOB=90°，

∴∠ABO=45°，

∴∠CBO+∠MBA=∠MBA+∠MBO=45°，

∴∠CBO=∠OBM，

∵∠CBO+∠BCO=90°,∠BMO+∠OBM=90°，

∴∠BCO=∠BMO，

∴BC=BM，OC=OM=3，

∴M(3,0)，

作点M关于直线AB的对称点N,作直线BN交x轴于M ,则∠M BA=∠MBA,点M 满足条件.

∵N(4,1),B(0,4)，

∴直线BN的解析式为y=x+4,令y=0,得x=，

∴M (,0)，

综上所述,满足条件的点点M的坐标为(3,0)或(,0).

(3)如图2中，

∵BC==5，

当BC为菱形的边时,四边形CPQB,四边形CPQB,四边形BCQP是菱形,此时Q (5,4),Q (5,4),Q (0,4)，

当BC是菱形的对角线时,四边形是菱形,可得 (256,4).

综上所述,满足条件的点Q的坐标为(5,4)或(5,4)或(0,4)或(,4).

点睛:本题考查一次函数综合题、待定系数法、菱形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，注意一题多解，不能漏解，属于中考常考题型.