Question

【题目】如图，已知△ABC中，∠ACB=90°，AC=1，BC=2，CD平分∠ACB交边AB与点D，P是射线CD上一点，联结AP．

（1）求线段CD的长；

（2）当点P在CD的延长线上，且∠PAB=45°时，求CP的长；

（3）记点M为边AB的中点，联结CM、PM，若△CMP是等腰三角形，求CP的长．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）CP的长是或或．

【解析】分析：（1）作辅助线，证明四边形ECFD是正方形，设DF=x，则CF=x，BF=2﹣x，由△BDF∽△BAC，得，可得CD的长；

（2）如图2，作辅助线，构建全等三角形，先根据C、B、P、A四点共圆，得∠APB=90°，可知AP=BP，由角平分线性质得：PM=PN，根据HL证明Rt△PMA≌Rt△PNB（HL），得AM=BN，设AM=x，则PM=CM=x+1，CN=2﹣x，由CM=CN列方程可得x的值，可得CD的长；

（3）存在三种情况：

①当PM=CM时，如图3，同理作出辅助线，根据△PCM是等腰直角三角形，可得CP的长；

②先根据勾股定理求AB=，根据直角三角形斜边中线等于斜边一半可得CP的长；

③由△CPN∽△CMH，列比例式结合①可得CP的长．

详解：（1）如图1，过D作DE⊥AC于E，DF⊥BC于F．

∵DF平分∠ACB，∠ACB=90°，∴DE=DF．

∵∠DEC=∠ACB=∠CFD=90°，

∴四边形ECFD是正方形．

设DF=x，则CF=x，BF=2﹣x．

∵DF∥AC，∴△BDF∽△BAC，

∴，∴x=．

∵△CDE是等腰直角三角形，∴CD=；

（2）如图2．∵∠PAB=∠PCB=45°，

∴C、B、P、A四点共圆，∴∠ACB+∠APB=180°．

∵∠ACB=90°，∴∠APB=90°，

∴△APB是等腰直角三角形，∴AP=BP．

过P作PM⊥AC于M，PN⊥BC于N，连接PB．

∵PM=PN，∴R△PMA≌Rt△PNB（HL），∴AM=BN．

由（1）知：四边形MCNP是正方形，∴CM=CN．

设AM=x，则PM=CM=x+1，CN=2﹣x，

∴x+1=2﹣x，x=，∴CM=，∴CP=；

（3）若△CMP是等腰三角形，存在三种情况：

①当PM=CM时，如图3，同理作出辅助线．

∵∠PCN=45°，∴△PCM是等腰直角三角形，∴CN=PN，

同（2）得：CP=；

②Rt△ACB中，AC=1，BC=2，∴AB=．

∵M是AB的中点，∴CM=CP=AB=；

③作CM的中垂线交CD于P，则CP=PM，过M作MH⊥CD于H．

由①知：CG（就是CP=）=，CH=．

∵△CPN∽△CMH，∴=，CP=．

综上所述：CP的长是或或．