Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，已知点A 的坐标是(4,0)，并且0A=OC=4OB,动点P在过A,B，C三点的抛物线上.

(1) 求抛物线的解析式;

(2)过动点P作PE垂直于y轴于点E,交直线AC于点D，过点D作x轴的垂线，垂足为F,连接EF,当线段EF的长度最短时，求出点P的坐标;

(3) 是否存在点P,使得△ACP是以AC为直角边的直角三角形? 若存在，求出所有符合条件的点P的坐标; 若不存在，说明理由

Answer 1

【答案】(1) y=-x2+3x+4;(2)P（，2）或（，2）;(3)存在，P的坐标是（2，6）或（-2，-6），理由见解析

【解析】试题分析：

（1）由已知条件易得点ABC三点的坐标，设抛物线的解析式为，将三点坐标代入所设解析式列出方程组，解方程组即可；

（2）如图1，连接OD，易证四边形OFDE是矩形，由此可得EF=OD，所以当OD最短时，EF最短，即当OD⊥AC时，EF最短，结合OA=OC可知此时点D是AC中点，从而可得点D的纵坐标，结合DF∥OC可得点P的纵坐标，代入抛物线解析式即可求得点P的横坐标，从而可得点P的坐标；

（3）如图2，根据题意分别过点A、C作AC的垂线与抛物线相交于点P，再分别过所得点P向y轴作垂线交y轴于一点，结合已知条件即可求出对应的点P的坐标了.

试题解析：

（1）∵点A的坐标为：（4，0），

∴OA=4，

∵OA=OC=4OB，

∴OA=OC=4，OB=1，

∴C（0，4），B（-1，0）

设抛物线的解析式是y=ax2+bx+c，

则，解得：，

∴抛物线的解析式是：y=-x2+3x+4；

（2）如图1，连接OD，由题意可知，四边形OFDE是矩形，

则OD=EF．根据垂线段最短，可得当OD⊥AC时，OD最短，即EF最短．

∵OA=OC，点OD⊥AC，

∴D是AC的中点．

又∵DF∥OC，

∴DF=OC=2，

∴点P的纵坐标是2．则-x2+3x+4=2，解得：x=，

∴当EF最短时，点P的坐标是：（，2）或（，2）．

（3）存在，如图2，

第一种情况，当以C为直角顶点时，过点C作CP1⊥AC，交抛物线于点P1．过点P1作y轴的垂线，垂足是M．

∵∠ACP1=90°，

∴∠MCP1+∠ACO=90°．

∵∠ACO+∠OAC=90°，

∴∠MCP1=∠OAC．

∵OA=OC，

∴∠MCP1=∠OAC=45°，

∴∠MCP1=∠MP1C，∴MC=MP1，

设P（m，-m2+3m+4），则m=-m2+3m+4-4，解得：m1=0（舍去），m2=2．

∴-m2+3m+4=6，

即P（2，6）；

第二种情况，当点A为直角顶点时，过A作AP2，AC交抛物线于点P2，过点P2作y轴的垂线，垂足是N，AP交y轴于点F．

∴P2N∥x轴，由∠CAO=45°，

∴∠OAP=45°，

∴∠FP2N=45°，AO=OF．

∴P2N=NF，

设P2（n，-n2+3n+4），则n=（-n2+3n+4）+4，解得：n1=-2，n2=4（舍去），

∴-n2+3n+4=-6，则P2的坐标是（-2，-6）．

综上所述，P的坐标是（2，6）或（-2，-6）；