Question

【题目】如图，矩形中，，分别是线段AC、BC上的点，且四边形为矩形．

（Ⅰ）若是等腰三角形时，求的长；

（Ⅱ）若，求的长．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）AP的长为4或5或；（Ⅱ）CF=

【解析】

试题分析：（Ⅰ）分情况CP=CD、PD=PC、DP=DC讨论即可得；

（Ⅱ）连结PF、DE，记PF与DE的交点为O，连结OC，通过证明△ADP∽△CDF，从而得 ，由AP= ，从而可得CF= .

试题解析：（Ⅰ）在矩形ABCD中，AB=6，AD=8，∠ADC=90°，∴DC=AB=6， AC= =10；

要使△PCD是等腰三角形，有如下三种情况：

（1）当CP=CD时，CP=6，∴AP=AC-CP=4 ；

（2）当PD=PC时，∠PDC=∠PCD，∵∠PCD+∠PAD=∠PDC+∠PDA=90°，∴∠PAD=∠PDA，∴PD=PA，∴PA=PC，∴AP= ，即AP=5；

（3）当DP=DC时，过D作DQ⊥AC于Q，则PQ=CQ，∵S△ADC= AD·DC= AC·DQ，∴DQ= ，∴CQ= ，∴PC=2CQ = ,∴AP=AC-PC= .

综上所述，若△PCD是等腰三角形，AP的长为4或5或；

（Ⅱ）连结PF、DE，记PF与DE的交点为O，连结OC，

∵四边形ABCD和PEFD都是矩形，∴∠ADC=∠PDF=90°，即∠ADP+∠PDC=∠PDC+∠CDF，∴∠ADP=∠CDF，∵∠BCD=90°，OE=OD，∴OC= ED，在矩形PEFD中，PF=DE，∴OC=PF，∵OP=OF= PF，∴OC=OP=OF，∴∠OCF=∠OFC，∠OCP=∠OPC，又∵∠OPC+∠OFC+∠PCF=180°，∴2∠OCP+2∠OCF=180°，∴∠PCF=90°，即∠PCD+∠FCD=90°，在Rt△ADC中，∠PCD+∠PAD=90°，∴∠PAD=∠FCD，∴△ADP∽△CDF，∴ ，∵AP= ，∴CF= .