Question

【题目】解决问题时需要思考：是否解决过与其类似的问题．小明从问题1解题思路中获得启发从而解决了问题2．
（1）问题1：如图①，在正方形ABCD中，E、F是BC、CD上两点，∠EAF=45°．
求证：∠AEF=∠AEB．
小明给出的思路为：延长EB到H，满足BH=DF，连接AH．请完善小明的证明过程．
（2）问题2：如图②，在等腰直角△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=4，D为AB中点，E、F是AC、BC边上两点，∠EDF=45°．

①求点D到EF的距离．
②若AE=a，则S△DEF=（用含字母a的代数式表示）．

Answer 1

【答案】
（1）证明：如图①中，延长EB到H，满足BH=DF，连接AH

∵AB=AD，∠ABH=∠D=90°，BH=DF，

∴△ADF≌ABH，

∴∠DAF=∠BAH，AF=AH，

∵∠DAF+∠BAE=∠BAD﹣∠EAF=90°﹣45°=45°，

即∠EAH=∠BAH+∠BAE=45°，

∴∠EAH=∠EAF，

又∵AF=AH，AE=AE，

∴△AHE≌△AFE，

∴∠AEF=∠AEB．

（2）①解：过点D分别向AC、BC、EF作垂线，垂足分别为G、H、M，
∵∠ACB=90°，∴CGDH为矩形，∵AC=BC=4，D为AB中点，
∴DG=DH= BC=2，
∴四边形CGDH为正方形，
由问题1知∠DEG=∠DEM，
∴DM=DG=2．
②
【解析】（2）②解：在Rt△DEG中，DE= = = ， ∵S△AED= AEDG=a，
∵△DEF∽△AED，
∴ =（ ）2= ，
∴S△DEF= ．
故答案为 ．
问题1：如图①中，延长EB到H，满足BH=DF，连接AH，只要证明△AHE≌△AFE，即可推出∠AEF=∠AEB；问题2：（1）如图②中，过点D分别向AC、BC、EF作垂线，垂足分别为G、H、M，利用（1）中即可，根据角平分线的性质定理即可解决问题，（2）在Rt△DEG中，DE= = = ，由S△AED= AEDG=a，△DEF∽△AED，推出 =（ ）2= ，由此即可解决问题；