Question

【题目】如图，一次函数y=kx+b的图象与反比例函数y=（x＞0）的图象交于点P（n，2），与x轴交于点A（﹣4，0），与y轴交于点C，PB⊥x轴于点B，点A与点B关于y轴对称．

（1）求一次函数，反比例函数的解析式；

（2）求证：点C为线段AP的中点；

（3）反比例函数图象上是否存在点D，使四边形BCPD为菱形？如果存在，说明理由并求出点D的坐标；如果不存在，说明理由．

Answer 1

【答案】（1）反比例函数解析式为y=，一次函数解析式为y=x+1；

（2）证明见解析；

（3）满足条件的点D，其坐标为（8，1）.

【解析】试题分析：（1）由条件可求得P点坐标，利用待定系数法可求得一次函数和反比例函数的解析式；

（2）由平行线分线段成比例可求得AC=PC，可证得结论；

（3）可先求得C点坐标，过C作CD∥x轴，交PB于点E，交反比例函数图象于点D，可求得此时D点坐标，可证得四边形BCPD为菱形．

试题解析：（1）∵点A与点B关于y轴对称，

∴AO=BO，

∵A（﹣4，0），

∴B（4，0），

∵PB⊥x轴于点B，

∴P（4，2），

把P（4，2）代入反比例函数解析式可得m=8，

∴反比例函数解析式为y=，

把A、P两点坐标代入一次函数解析式可得，解得，

∴一次函数解析式为y=x+1；

（2）证：∵点A与点B关于y轴对称，

∴OA=OB，

∵PB⊥x轴于点B，

∴∠PBA=∠COA=90°，

∴PB∥CO，

∴=1，即AC=PC，

∴点C为线段AP的中点；

（3）存在点D，使四边形BCPD为菱形．

理由如下：

∵点C为线段AP的中点，

∴BC=AP=PC，

∴BC和PC是菱形的两条边，

由y=x+1可得C（0，1），

如图，过点C作CD∥x轴，交PB于点E，交反比例函数图象于点D，分别连接PD、BD，

∴D（8，1），且PB⊥CD，

∴PE=BE=1，CE=DE=4，

∴PB与CD互相垂直平分，即四边形BCPD为菱形，

∴存在满足条件的点D，其坐标为（8，1）．