Question

【题目】已知：如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，△ABC的外角平分线BD交⊙O于D，DE∥AC交CB的延长线于E．

（1）求证：DE是⊙O的切线；

（2）若∠A＝30°，求证：BD＝BC．

Answer 1

【答案】（1）答案见解析；（2）答案见解析．

【解析】分析：（1）连接OD，由OB=OD，得出∠ODB=∠OBD，根据BD是△ABC的外角平分线，推出∠ODB=∠DBE，得到OD∥BE．推出BE⊥DE，根据AB是⊙O的直径，得到AC⊥CE，根据DE∥AC，即可推出OD⊥DE，从而证得直线DE与⊙O相切．

（2）连接OC，得出△BOC是等边三角形，再利用平行线的性质得出结果．

本题解析：

解：（1）连接OD，∵OB=OD，∴∠ODB=∠OBD．

∵BD是△ABC的外角平分线，∴∠DBE=∠OBD，∴∠DBE=∠ODB，∴BE∥OD．

∵AB是⊙O的直径，∴∠C=90°．

∵DE∥AC，∴∠DEB=90°，∴OD⊥DE且点D在⊙O上，∴直线DE与⊙O相切．

（2）连接OC，∵∠A=30°，∴∠BOC=60°，∵OB=OC，∴△BOC是等边三角形，∴∠OBC=60°，∵BE∥OD，∴∠DOB=60°，∴∠DOB=∠BOC，∴BD=BC．