Question

【题目】如图①，在锐角△ABC中，D，E分别为AB，BC中点，F为AC上一点，且∠AFE=∠A，DM∥EF交AC于点M．

（1）求证：DM=DA；
（2）点G在BE上，且∠BDG=∠C，如图②，求证：△DEG∽△ECF；
（3）在图②中，取CE上一点H，使∠CFH=∠B，若BG=1，求EH的长．

Answer 1

【答案】
（1）

证明：如图1所示，

∵DM∥EF，

∴∠AMD=∠AFE，

∵∠AFE=∠A，

∴∠AMD=∠A，

∴DM=DA；

（2）

证明：如图2所示，

∵D、E分别是AB、BC的中点，

∴DE∥AC，

∴∠BDE=∠A，∠DEG=∠C，

∵∠AFE=∠A，

∴∠BDE=∠AFE，

∴∠BDG+∠GDE=∠C+∠FEC，

∵∠BDG=∠C，

∴∠DGE=∠FEC，

∴△DEG∽△ECF；

（3）

解：如图3所示，

∵∠BDG=∠C=∠DEB，∠B=∠B，

∴△BDG∽△BED，

∴，

∴BD2=BGBE，

∵∠AFE=∠A，∠CFH=∠B，

∴∠C=180°﹣∠A﹣∠B=180°﹣∠AFE﹣∠CFH=EFH，

又∵∠FEH=∠CEF，

∴△EFH∽△ECF，

∴，

∴EF2=EHEC，

∵DE∥AC，DM∥EF，

∴四边形DEFM是平行四边形，

∴EF=DM=DA=BD，

∴BGBE=EHEC，

∵BE=EC，

∴EH=BG=1．

【解析】（1）证明∠A=∠DMA，用等角对等边即可证明结论；
（2）由D、E分别是AB、BC的中点，可知DE∥AC，于是∠BDE=∠A，∠DEG=∠C，又∠A=∠AFE，∠AFE=∠C+∠FEC，根据等式性质得∠FEC=∠GDE，根据有两对对应角相等的两三角形相似可证；
（3）通过证明△BDG∽△BED和△EFH∽△ECF，可得BGBE=EHEC，又BE=EC，所以EH=BG=1．
此题考查了相似三角形的判定与性质.