Question

【题目】如图，在△ABC中，⊙O经过A、B两点，圆心O在BC边上，且⊙O与BC边交于点E，在BC上截取CF=AC，连接AF交⊙O 于点D，若点D恰好是的中点．

（1）求证：AC是⊙O的切线；

（2）若BF=17，DF=13，求⊙O的半径r；

（3）若∠ABC=30°，动直线l从与点A、O重合的位置开始绕点O顺时针旋转，到与OC重合时停止，设直线l与AC的交点为F，点Q为OF的中点，过点F作FG⊥BC于G，连接AQ、QG．请问在旋转过程中，∠AQG的大小是否变化？若不变，求出∠AQG的度数；若变化，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；

（2）⊙O的半径r为12；

（3）在旋转过程中∠AQG的大小不变，理由见解析.

【解析】试题分析：（1）连接OA、OD，根据垂径定理得∠DOE =90°，则∠D+∠OFD=90°，再由AC=FC，OA=OD，加上∠CAF=∠CFA，所以∠OAD+∠CAF=90°，根据切线的判定定理可得AC是⊙O切线；（2）先表示出OD=r，OF=17﹣r，再在Rt△DOF中利用勾股定理得r2+（17﹣r）2=132，解方程得到r的值；（3）（3）易证点A、O、G、H在以点Q为圆心，QO为半径的圆上，从而得到∠AQG=2∠AOG．从而得到∠AOC=60°，进而得到∠AQG=120°，所以∠AQG是定值．

（1）证明：连接OA、OD，如图，

∵D为弧BE的中点，

∴∠BOD=∠DOE =90°，

∴∠D+∠OFD=90°，

∵AC=FC，OA=OD，

∴∠CAF=∠CFA，∠OAD=∠D，

而∠CFA=∠OFD，

∴∠OAD+∠CAF=90°，

即∠OAC=90°，

∴OA⊥AC，

∴AC是⊙O切线；

（2）OD=r，OF=17﹣r，

在Rt△DOF中，r2+（17﹣r）2=132，

解得r=5（舍去），r=12；

即⊙O的半径r为12；

（3）在旋转过程中∠AQG的大小不变．

∵∠OAC=90°．

∴HG⊥BC，

∴∠OGH=90°．

∵点Q是OH的中点，

∴AQ=OQ=HQ=GQ

∴点A、O、G、H在以点Q为圆心，QO为半径的圆上，

∴∠AQG=2∠AOG．

∵∠ABC=30°,

∴∠AOC=60°．

∴∠AQG=120°．

∴在旋转过程中∠MQG的大小不变，始终等于120°．