Question

【题目】如图，在正方形ABCD中，AB=BC=CD=AD，∠BAD=∠B=∠C=∠D=90°，点E、F分别在正方形ABCD的边DC、BC上，AG⊥EF且 AG=AB，垂足为G，则：
（1）△ABF与△ AGF全等吗？说明理由；
（2）求∠EAF的度数；
（3）若AG=4，△AEF的面积是6，求△CEF的面积．

Answer 1

【答案】
（1）解：△ABF与△ AGF全等，理由如下：
在RtABF和Rt AGF中，
,
∴△ABF△ AGF.

（2）解：∵△ABF△ AGF，
∴BAF=GAF，
同理易得：△AGE△ ADE，有GAE=DAE，
即EAF=EAD+FAG=BAD=45.

（3）解：∵SAEF=EFAG，AG=4，
∴6=EFAG，
∴EF=3，
∵BF=FG，EG=DE，AG=AB=BC=CD=4，设FC=x，EC=y，则BF=4-x，DE=4-y，
∵BF+DE=FG+EG=EF=3，
∴4-x+4-y=3，
∴x+y=5 ①
在RtEFC中，∵EF2=EC2+FC2，
∴x2+y2=32 ②
①2-②得到，2xy=16，
∴SCEF=xy=4.

【解析】（1）根据HL可得出△ABF△ AGF；（2）只要证明BAF=GAF，GAE=DAE，即可求出EAF=45；（3）设FC=x，EC=y，则BF=4-x，DE=4-y，构建方程组，求出xy即可求出△CEF的面积．
【考点精析】掌握正方形的性质是解答本题的根本，需要知道正方形四个角都是直角，四条边都相等；正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角；正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形；正方形的对角线与边的夹角是45o；正方形的两条对角线把这个正方形分成四个全等的等腰直角三角形．