Question

【题目】如图，已知正方形ABCD，从顶点A引两条射线分别交BC，CD于点E，F，且∠EAF＝45°.

求证：BE＋DF＝EF.

Answer 1

【答案】证明见解析

【解析】

延长CD到G，使DG=BE，利用“边角边”证明△ABE和△ADG全等，根据全等三角形对应边相等可得AG=AE，全等三角形对应角相等可得∠DAG=∠BAE，然后求出∠EAF=∠GAF，再利用“边角边”证明△AEF和△AGF全等，根据全等三角形对应边相等可得EF=GF，然后结合图形整理即可得证．

证明：延长CD到点G，使DG＝BE，连接AG.

在正方形ABCD中，AB＝AD，∠B＝∠ADC＝90°，

所以∠ADG＝∠B.

在△ABE和△ADG中，,

所以△ABE≌△ADG(SAS)．

所以AE＝AG，∠BAE＝∠DAG.

因为∠EAF＝45°，

所以∠GAF＝∠DAG＋∠DAF＝∠BAE＋∠DAF＝∠BAD－∠EAF＝90°－45°＝45°.

所以∠EAF＝∠GAF，

在△AEF和△AGF中，,

所以△AEF≌△AGF(SAS)．

所以EF＝GF.

所以EF＝GF＝DG＋DF＝BE＋DF，

即BE＋DF＝EF.