Question

【题目】如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠ABC=∠ADC，DE垂直于对角线AC，垂足是E，连接BE．

（1）求证：四边形ABCD是平行四边形；

（2）若点E是AC的中点，判断BE与AC的位置关系，并说明理由；

（3）若△ABE是等边三角形，AD=，求对角线AC的长．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）BE⊥AC；（3）．

【解析】

试题分析：（1）根据平行四边形的性质得出∠ABC+∠DCB=180°，推出∠ADC+∠BCD=180°，根据平行线的判定得出AD∥BC，根据平行四边形的判定推出即可；

（2）求出AD=DC，根据菱形的判定得出四边形ABCD是菱形，根据等腰三角形的性质得出即可；

（3）根据等边三角形的性质得出AB=AE，∠BAC=60°，求出∠DCE=∠BAE=60°，求出CD=2EC，设CE=x，则AB=DC=AE=2x，根据勾股定理得出方程，求出x，即可得出答案．

试题解析：（1）证明：∵AB∥CD，∴∠ABC+∠DCB=180°，∵∠ABC=∠ADC，∴∠ADC+∠BCD=180°，∴AD∥BC，∵AB∥CD，∴四边形ABCD是平行四边形；

（2）解：BE⊥AC，理由是：∵DE⊥AC，E为AC的中点，∴AD=DC，∵四边形ABCD是平行四边形，∴四边形ABCD是菱形，∴AB=BC，∵E为AC的中点，∴BE⊥AC；

（3）解：∵△ABE是等边三角形，∴AB=AE，∠BAC=60°，∵AB∥DC，∴∠DCE=∠BAE=60°，∵∠DEC=90°，∴∠CDE=30°，∴CD=2EC，设CE=x，则AB=DC=AE=2x，由勾股定理得：DE2=AD2﹣AE2=DC2﹣CE2，即，解得：x=（负数舍去），即CE=，AE=，∴AC=．