Question

【题目】如图1，平面内有一点到的三个顶点的距离分别为、、，若有，则称点为关于点的勾股点．

（1）如图2，在的网格中，每个小正方形的边长均为1，点、、、、、、均在小正方形的顶点上，则点E是关于点B的勾股点.

（2）如图3，是矩形内一点，且点是关于点的勾股点,

①求证：；

②若，，求的度数．

（3）如图3，矩形中，，，是矩形内一点，且点是关于点的勾股点．

①当时，求的长；

②直接写出的最小值．

Answer 1

【答案】（2）①证明见解析；②30°；（3）①AE的长为或；②．

【解析】

（2）①由矩形性质得∠ADC=90°，可得AD2+DC2=AC2；根据勾股数得BC2+EC2=AC2，又因为AD=BC，即得CE=CD．
②设∠CED=α，根据∠AEC=135°和CE=CD即∠ADC=90°，可用α表示△ADE的三个内角，利用三角形内角和180°为等量关系列方程，即求出α进而求出∠ADE．
（3）由条件“点C是△ABE关于点A的勾股点”仍可得CE=CD=5，作为条件使用．①△ADE是等腰三角形需分3种情况讨论，把每种情况画图再根据矩形性质和勾股定理计算，即能求AE的长．②在CB上截取CH= ，利用两边对应成比例及夹角相等构造△ECH∽△BCE，把BE转化为EH，所以当点A、E、H在同一直线上时，AE+BE=AH取得最小值，利用勾股定理求出AH即可．

解：（2）①证明：∵点C是△ABE关于点A的勾股点
∴CA2=CB2+CE2
∵四边形ABCD是矩形
∴AB=CD，AD=BC，∠ADC=90°
∴CA2=AD2+CD2=CB2+CD2
∴CB2+CE2=CB2+CD2
∴CE=CD
②设∠CED=α，则∠CDE=∠CED=α
∴∠ADE=∠ADC-∠CDE=90°-α
∵∠AEC=135°
∴∠AED=∠AEC-∠CED=135°-α
∵DA=DE
∴∠DAE=∠DEA=135°-α
∵∠DAE+∠DEA+∠ADE=180°
∴2（135°-α）+（90°-α）=180°
解得：α=60°
∴∠ADE=90°-60°=30°
（3）①∵矩形ABCD中，AB=5，BC=8
∴AD=BC=8，CD=AB=5
∵点C是△ABE关于点A的勾股点
∴CE=CD=5
i）如图1，若DE=DA，则DE=8

过点E作MN⊥AB于点M，交DC于点N
∴∠AME=∠MND=90°
∴四边形AMND是矩形
∴MN=AD=8，AM=DN
设AM=DN=x，则CN=CD-DN=5-x
∵Rt△DEN中，EN2+DN2=DE2；Rt△CEN中，EN2+CN2=CE2
∴DE2-DN2=CE2-CN2
∴82-x2=52-（5-x）2
解得：x=
∴EN= ，AM=DN=
∴ME=MN-EN=8-,

∴Rt△AME中，AE=
ii）如图2，若AE=DE，则E在AD的垂直平分线上

过点E作PQ⊥AD于点P，交BC于点Q
∴AP=DP=AD=4，∠APQ=∠PQC=90°
∴四边形CDPQ是矩形
∴PQ=CD=5，CQ=PD=4
∴Rt△CQE中，EQ=＝3
∴PE=PQ-EQ=2

∴Rt△APE中，AE=
iii）如图3，若AE=AD=8，则AE2+CE2=AD2+CD2=AC2
∴∠AEC=90°
取AC中点O，则点A、B、C、D在以O为圆心、OA为半径的⊙O上
∴点E也在⊙O上
∴点E不在矩形ABCD内部，不符合题意
综上所述，若△ADE是等腰三角形，AE的长为或．
②在CB上截取CH= ，连接EH

∴ ,
∵∠ECH=∠BCE
∴△ECH∽△BCE
∴ ,
∴EH=BE
∴AE+BE=AE+EH
∴当点A、E、H在同一直线上时，AE+BE=AH取得最小值
∵BH=BC-CH=8-＝ ,
∴AH=
∴AE+BE的最小值为．