Question

【题目】
（1）如图1，四边形ABCD是正方形，点E、点F分别在边AB和AD上，且AE=AF．此时，线段BE、DF的数量关系是 ， 位置关系是 ． 请直接写出结论．
（2）如图2，等腰直角三角形FAE绕直角顶点A顺时针旋转∠α，当0°＜α＜90°时，连接BE、DF，此时（1）中的结论是否成立，如果成立，请证明；如果不成立，请说明理由．
（3）如图3，等腰直角三角形FAE绕直角顶点A顺时针旋转∠α，当α=90°时，连接BE、DF，若正方形的边长为1，猜想当AE=时，直线DF垂直平分BE．请写出计算过程．
（4）如图4，等腰直角三角形FAE绕直角顶点A顺时针旋转∠α，当90°＜α＜180°时，连接BD、DE、EF、FB得到四边形BDEF，则顺次连接四边形BDEF各边中点所组成的四边形是什么特殊四边形？请直接写出结论： ．

Answer 1

【答案】
（1）BE=DF；BE⊥DF
（2）

中的结论仍然成立．

理由：如图2中，延长DF交BE于H．

∵四边形ABCD是正方形，

∴AD=AB，AF=AE，∠DAB=∠FAE=90°，

在△DAF和△BAE中，

，

∴△DAF≌△BAE，

∴DF=BE，∠ADF=∠ABR，

∵∠AFD=∠BFH，

∴∠DAF=∠BHF=90°，

∴DF⊥BE

（3）﹣1
（4）正方形
【解析】解：（1.）如图1中，

∵四边形ABCD是正方形，
∴∠DAB=90°，AD=AB，
∵AF=AE，
∴BE=DF，BE⊥DF，
所以答案是BE=DF，BE⊥DF
（3.）如图3中，连接BD．

在Rt△ABD中，∵AD=AB=1，
∴BD= = ，
∵DF垂直平分线段EB，
∴DE=DB= ，
∴AE=DE﹣AD= ﹣1，
所以答案是 ﹣1．
（4.）如图4中，设M、N、G、H分别是BD、DE、EF、BF的中点，连接BE，DF，MN，NG，GH，HM．EB交DF于O，MN交DF于P．

易证：DF=EB，DF⊥EB，
∵DN=NE，DM=MB，
∴MN∥EB，MN= EB，同理可证GH∥EB，GH= EB，MH∥DF，MH= DF，GN∥DF，GN= DF，
∴MN=NG=GH=HM，
∴四边形MNGH是菱形，
∵MN∥EB，
∴∠DPM=∠DOB=90°，
∵DF∥MH，
∴∠NMH=∠DPM=90°，
∴四边形MNGH是正方形．
所以答案是正方形
【考点精析】解答此题的关键在于理解全等三角形的性质的相关知识，掌握全等三角形的对应边相等; 全等三角形的对应角相等，以及对正方形的性质的理解，了解正方形四个角都是直角，四条边都相等；正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角；正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形；正方形的对角线与边的夹角是45o；正方形的两条对角线把这个正方形分成四个全等的等腰直角三角形．