Question

【题目】探索研究：已知：△ABC和△CDE都是等边三角形．

（1）如图1，若点A、C、E在一条直线上时，我们可以得到结论：线段AD与BE的数量关系为： ，
线段AD与BE所成的锐角度数为°；
（2）如图2，当点A、C、E不在一条直线上时，请证明（1）中的结论仍然成立；
灵活运用：
如图3，某广场是一个四边形区域ABCD，现测得：AB=60m，BC=80m，且∠ABC=30°，∠DAC=∠DCA=60°，试求水池两旁B、D两点之间的距离．

Answer 1

【答案】
（1）相等,60
（2）解：如图3，以AB为边在△ABC外侧作等边△ABE，连接CE．

由（2）可得：BD=CE

∴∠EBC=60°+30°=90°，

∴△EBC是直角三角形

∵EB=60m BC=80m，

∴CE= = =100（m）．

∴水池两旁B、D两点之间的距离为100m．

【解析】解：（1）如图1，

∵△ABC和△CDE都是等边三角形，

∴AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°，

∴∠ACB+∠BCD=∠DCE+∠BCD，

即∠ACD=∠BCE，

在△ACD和△BCE中，

，

∴△ACD≌△BCE（SAS），

∴AD=BE，∠ADC=∠BEC，

由三角形的外角性质，∠DPE=∠PEA+∠DAC，

∠DCE=∠ADC+∠DAC，

∴∠DPE=∠DCE=60°；

所以答案是：相等，60；

⑵如图2，

∵△ABC和△CDE都是等边三角形，

∴AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°，

∴∠ACB+∠BCD=∠DCE+∠BCD，

即∠ACD=∠BCE，

在△ACD和△BCE中，

，

∴△ACD≌△BCE（SAS），

∴AD=BE，∠DAC=∠EBC，

∴∠BPA=180°﹣∠ABP﹣∠BAP=180°﹣∠ABC﹣∠BAC=60°．

【考点精析】通过灵活运用等边三角形的性质，掌握等边三角形的三个角都相等并且每个角都是60°即可以解答此题．