Question

【题目】如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2﹣2x+c与直线y=﹣x+3分别交于x轴、y轴上的B、C两点，抛物线的顶点为点D，联结CD交x轴于点E．

（1）求抛物线的解析式以及点D的坐标；

（2）求tan∠BCD；

（3）点P在直线BC上，若∠PEB=∠BCD，求点P的坐标．

Answer 1

【答案】（1）D（4，﹣1）；（2）；（3）点P（，）或（12，﹣3）．

【解析】分析：（1）直接利用待定系数法求出二次函数解析式进而得出答案；

（2）利用锐角三角函数关系得出EC，BF的长，进而得出答案；

（3）分别利用①点P在x轴上方，②点P在x轴下方，分别得出点P的坐标．

详解：（1）由题意得B（6，0），C（0，3），

把B（6，0）C（0，3）代入y=ax2-2x+c

得，

解得：，

∴抛物线的解析式为：y=x2-2x+3

=（x2-8x）+3

=（x-4）2-1，

∴D（4，-1）；

（2）可得点E（3，0），

OE=OC=3，∠OEC=45°，

过点B作BF⊥CD，垂足为点F

在Rt△OEC中，EC=，

在Rt△BEF中，BF=BEsin∠BEF=，

同理，EF=，

∴CF=+=，

在Rt△CBF中，tan∠BCD=；

（3）设点P（m，m+3）

∵∠PEB=∠BCD，

∴tan∠PEB=tan∠BCD=，

①点P在x轴上方

∴，

解得：m＝，

∴点P（，），

②点P在x轴下方

∴，

解得：m=12，

∴点P（12，-3），

综上所述，点P（，）或（12，-3）．