Question

【题目】如图，已知在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，分别过B、C向过A的直线作垂线，垂足分别为E、F．

（1）求证：△ABE≌△CAF

（2）如图①过A的直线与斜边BC不相交时，试探索EF、 BE、CF三条线段的关系；

（3）如图②过A的直线与斜边BC相交时，其他条件不变，若BE=10，CF=3，求FE长．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）EF=BE=CF.理由见解析；（3）EF的长为7.

【解析】

（1）由条件可以得出∠BAE=∠ACF，∠AEB=∠CFA，就可以得出△ABE≌△CAF；

（2）由△ABE≌△CAF就可以得出EF=BE+CF；

（3）通过证明三角形△ABE≌△CAF就可以得出结论．

（1）BAE+∠CAF=90°.

∵BE⊥EF,CF⊥EF,

∴∠AEB=∠CFA=90°，

∴∠FAC+∠ACF=90°，

∴∠BAE=∠ACF.

在△ABE和△CAF中

∠BAE=∠ACF∠AEB=∠CFAAB=CA

∴△ABE≌△CAF(AAS)；

(2)EF=BE=CF.理由：

证明：∵△ABE≌△CAF，

∴AE=CF，BE=AF.

∵EF=AE+AF，

∴EF=CF+BE；

(3)如图2,∵∠BAC=90°，

∴∠BAF+∠CAF=90°.

∵BE⊥EF,CF⊥EF,

∴∠AEB=∠CFA=90°，

∴∠FAC+∠ACF=90°，

∴∠BAE=∠ACF.

在△ABE和△CAF中，

∠BAE=∠ACF∠AEB=∠CFAAB=CA，

∴△ABE≌△CAF(AAS)，

∴BE=AF，AE=CF.

∵EF=AFAE，

∴EF=BECF=103=7.

答：EF的长为7.