Question

【题目】如图1，在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴交于，两点，与轴交于点.

(1)求抛物线的函数表达式；

(2)若点是轴上的一点，且以为顶点的三角形与相似，求点的坐标；

(3)如图2，轴玮抛物线相交于点，点是直线下方抛物线上的动点，过点且与轴平行的直线与，分别交于点，，试探究当点运动到何处时，四边形的面积最大，求点的坐标及最大面积；

(4)若点为抛物线的顶点，点是该抛物线上的一点，在轴，轴上分别找点，，使四边形的周长最小，求出点，的坐标.

Answer 1

【答案】(1) y=x2﹣4x﹣5，(2) D的坐标为（0，1）或（0，）；(3) 当t=时，四边形CHEF的面积最大为．(4) P（，0），Q（0，﹣）．

【解析】

试题分析：（1）根据待定系数法直接抛物线解析式；

（2）分两种情况，利用相似三角形的比例式即可求出点D的坐标；

（3）先求出直线BC的解析式，进而求出四边形CHEF的面积的函数关系式，即可求出最大值；

（4）利用对称性找出点P，Q的位置，进而求出P，Q的坐标．

试题解析：（1）∵点A（﹣1，0），B（5，0）在抛物线y=ax2+bx﹣5上，

∴，

∴，

∴抛物线的表达式为y=x2﹣4x﹣5，

（2）如图1，令x=0，则y=﹣5，

∴C（0，﹣5），

∴OC=OB，

∴∠OBC=∠OCB=45°，

∴AB=6，BC=5，

要使以B，C，D为顶点的三角形与△ABC相似，则有或，

①当时，

CD=AB=6，

∴D（0，1），

②当时，

∴，

∴CD=，

∴D（0，），

即：D的坐标为（0，1）或（0，）；

（3）设H（t，t2﹣4t﹣5），

∵CE∥x轴，

∴点E的纵坐标为﹣5，

∵E在抛物线上，

∴x2﹣4x﹣5=﹣5，∴x=0（舍）或x=4，

∴E（4，﹣5），

∴CE=4，

∵B（5，0），C（0，﹣5），

∴直线BC的解析式为y=x﹣5，

∴F（t，t﹣5），

∴HF=t﹣5﹣（t2﹣4t﹣5）=﹣（t﹣ ）2+，

∵CE∥x轴，HF∥y轴，

∴CE⊥HF，

∴S四边形CHEF=CEHF=﹣2（t﹣）2+，

当t=时，四边形CHEF的面积最大为．

（4）如图2，

∵K为抛物线的顶点，

∴K（2，﹣9），

∴K关于y轴的对称点K'（﹣2，﹣9），

∵M（4，m）在抛物线上，

∴M（4，﹣5），

∴点M关于x轴的对称点M'（4，5），

∴直线K'M'的解析式为y=x﹣，

∴P（，0），Q（0，﹣）．