Question

【题目】（本题满分分）已知在平面直角坐标系中，点是抛物线上的一个动点，点的坐标为.

(1)．如图1，直线过点且平行于轴,过点作,垂足为,连接，猜想与的大小关系： ______ (填写“＞”“＜”或“=” ）,并证明你的猜想．

(2)．请利用(1)的结论解决下列问题：

①．如图2,设点的坐标为, 连接,问是否存在最小值?如果存在,请说明理由,并求出点的坐标；如果不存在,请说明理由.

②．若过动点和点的直线交抛物线于另一点,且,求直线的解析式(图3为备用图).

Answer 1

【答案】（1）=；理由见解析；（2）①存在P点坐标为（2，﹣3）；②y=x﹣1或y=﹣x﹣1．

【解析】试题分析：（1）利用二次函数图象上点的坐标特征，设P（m，﹣m2﹣2），则B（m，﹣1），然后根据两点间的距离公式计算出PA和PB，从而可判断它们相等；

（2）①过点Q作QB∥x轴，过P点作PB⊥QB于B点，如图2，由（1）得PB=PA，根据两点之间线段最短，当点P、B、C共线时，此时P点的横坐标为2，然后计算对应的函数值即可得到P点坐标；

②过点Q（0，﹣1）作直线l平行于x轴，作PB⊥l于B，DE⊥l于E，如图3，由（1）得PB=PA，DE=DA，再证明△QDE∽△QPB，利用相似比得到==，设P（m，﹣m2﹣2），则B（m，﹣1），PB=m2+1，易得E点坐标为（m，﹣1），D点坐标为[m，﹣（m）2﹣2]，则ED=m2+1，然后根据DE和PB的数量关系列方程m2+1=4（m2+1），解方程求出m，从而得到P点坐标，最后利用待定系数法求直线PQ的解析式．

解：（1）PA与PB相等．

理由如下：设P（m，﹣m2﹣2），则B（m，﹣1），

∵PA===m2+1，

PB=﹣1﹣（﹣m2﹣2）=m2+1，

∴PA=PB．

故答案为=；

（2）①存在．

过点Q作QB∥x轴，过P点作PB⊥QB于B点，如图2，由（1）得PB=PA，则PA+PC=PB+PC，

当点P、B、C共线时，PB+PC最小，此时PC⊥QB，P点的横坐标为2，

当x=2时，y=﹣x2﹣2=﹣×4﹣2=﹣3，

即此时P点坐标为（2，﹣3）；

②过点Q（0，﹣1）作直线l平行于x轴，作PB⊥l于B，DE⊥l于E，如图3，由（1）得PB=PA，DE=DA，

∵PA=4AD，

∴PB=4DE，

∵DE∥PB，

∴△QDE∽△QPB，

∴==，

设P（m，﹣m2﹣2），则B（m，﹣1），PB=m2+1，

∴E点坐标为（m，﹣1），D点坐标为[m，﹣（m）2﹣2]，

∴ED=﹣1+（m）2+2=m2+1，

∴m2+1=4（m2+1），解得m1=4，m2=﹣4，

∴P点坐标为（4，﹣6）或（﹣4，﹣6），

当P点坐标为（4，﹣6）时，直线PQ的解析式为y=﹣x﹣1，

当P点坐标为（﹣4，﹣6）时，直线PQ的解析式为y=x﹣1，

即直线PQ的解析式为y=x﹣1或y=﹣x﹣1．