Question

【题目】我们把能平分四边形面积的直线称为“好线”．利用下面的作图，可以得到四边形的“好线”：如图1四边形ABCD中，取对角线BD的中点O，连接OA，OC，显然，折线AOC能平分四边形ABCD的面积，再过点O作OE∥AC交CD于E，则直线AE即为一条“好线”．

（1）如图1，试说明直线AE是“好线”的理由；
（2）如图2，AE为一条“好线”，F为AD边上的一点，请作出经过F点的“好线”，并说明理由；
（3）如图3，五边形ABCDE是一块土地的示意图，经过多年开垦荒地，现已变成如图3所示的形状，但原块土地与开垦荒地的分界小路（折线CDE）还保留着，现在请你过E点修一条直路．要求直路左边的土地面积与原来一样多（只需对作图适当说明无需说明理由）

Answer 1

【答案】
（1）解：∵点O是BD的中点，

∴S△AOB=S△AOD，S△BOC=S△DOC，

∴S△AOB+S△BOC=S△AOD+S△DOC= S四边形ABCD，

∴S四边形ABCO= S四边形ABCD．

∴折线AOC能平分四边形ABCD的面积，

设AE交OC于F．

∵OE∥AC，

∴S△AOE=S△COE，

∴S△AOF=S△CEF，

∵折线AOC能平分四边形ABCD的面积，

∴直线AE平分四边形ABCD的面积，即AE是四边形ABCD的一条“好线”．

（2）解：连接EF，过A作EF的平行线交CD于点G，连接FG，则GF为一条“好线”．

∵AG∥EF，

∴S△AGE=S△AFG．

设AE与FG的交点是O．则S△AOF=S△GOE，

又AE为一条“好线”，所以GF为一条“好线”．

（3）解：如图3，

连接CE，过点D作DF∥EC交CM于F，连接EF，即EF为所修的直路，

理由：过点D作DG⊥CE于G，过点F作FH⊥EC于H，

∵DF∥EC，∴DG=FH（夹在平行线间的距离处处相等），

∵S△CDE= EC×DG，S△CEF= EC×FH，

∴S△CDE=S△CEF，

∴S四边形ABCDE=S四边形ABCE+S△CDE=S四边形ABCE+S△CEF=S五边形ABCFE．

即：直路左边的土地面积与原来一样多．

【解析】（1）首先作AH⊥BC，垂足为H．依据三角形的面积公式可得到S△ABD=BDAH，S△ADC=DCAH，然后结合条件BD=CD，可得到S△ABD=S△ADC，再判断出S四边形ABCO=S四边形ABCD，进而判断出S△AOE=S△COE，推出S△AOF=S△CEF，即可推出直线AE平分四边形ABCD的面积；
（2）首先连接EF，FG，然后过点A作EF的平行线交CD于点G，由AG∥EF，推出S△AGE=S△AFG．设AE与FG的交点是O．则S△AOF=S△GOE，又AE为一条“好线”，所以GF为一条“好线”，
（3）首先连接CE，EF，然后过点D作DF∥EC交CM于F，然后依据夹在平行线间的距离处处相等得出DG=FH，于是可得到S△CDE=S△CEF.
【考点精析】本题主要考查了平行线之间的距离的相关知识点，需要掌握两条平行线的距离：两条直线平行，从一条直线上的任意一点向另一条直线引垂线，垂线段的长度，叫做两条平行线的距离才能正确解答此题．