Question

【题目】如图1～4，在直角边分别为3和4的直角三角形中，每多作一条斜边上的高就增加一个三角形的内切圆，依此类推，图10中有10个直角三角形的内切圆，它们的面积分别记为S1 ， S2 ， S3 ， …，S10 ， 则S1+S2+S3+…+S10= ．

Answer 1

【答案】π
【解析】解：（1）图1，过点O做OE⊥AC，OF⊥BC，垂足为E、F，
则∠OEC=∠OFC=90°
∵∠C=90°
∴四边形OECF为矩形
∵OE=OF
∴矩形OECF为正方形
设圆O的半径为r，则OE=OF=r，AD=AE=3﹣r，BD=4﹣r
∴3﹣r+4﹣r=5，r= =1
∴S1=π×12=π
（2.）图2，

由S△ABC= ×3×4= ×5×CD
∴CD=
由勾股定理得：AD= = ，BD=5﹣ =
由（1）得：⊙O的半径= = ，⊙E的半径= =
∴S1+S2=π× +π× =π
（3.）图3，

由S△CDB= × × = ×4×MD
∴MD=
由勾股定理得：CM= = ，MB=4﹣ =
由（1）得：⊙O的半径= ，：⊙E的半径= = ，：⊙F的半径= =
∴S1+S2+S3=π× +π× +π× =π
∴图4中的S1+S2+S3+S4=π
则S1+S2+S3+…+S10=π
故答案为：π．
（1）图1，作辅助线构建正方形OECF，设圆O的半径为r，根据切线长定理表示出AD和BD的长，利用AD+BD=5列方程求出半径r= （a、b是直角边，c为斜边），运用圆面积公式=πr2求出面积=π；（2）图2，先求斜边上的高CD的长，再由勾股定理求出AD和BD，利用半径r= （a、b是直角边，c为斜边）求两个圆的半径，从而求出两圆的面积和=π；（3）图3，继续求高DM和CM、BM，利用半径r= （a、b是直角边，c为斜边）求三个圆的半径，从而求出三个圆的面积和=π；
综上所述：发现S1+S2+S3+…+S10=π．