Question

【题目】如图，矩形ABCD中，AD=6，DC=8，菱形EFGH的三个顶点E、G、H分别在矩形ABCD的边AB、CD、DA上，AH=2．
（1）若DG=6，求AE的长；
（2）若DG=2，求证：四边形EFGH是正方形．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵AD=6，AH=2

∴DH=AD﹣AH=4

∵四边形ABCD是矩形

∴∠A=∠D=90°

∴在Rt△DHG中，HG2=DH2+DG2

在Rt△AEH中，HE2=AH2+AE2

∵四边形EFGH是菱形

∴HG=HE

∴DH2+DG2=AH2+AE2

即42+62=22+AE2

∴AE= =4

（2）证明：∵AH=2，DG=2，

∴AH=DG，

∵四边形EFGH是菱形，

∴HG=HE，

在Rt△DHG和Rt△AEH中，

，

∴Rt△DHG≌Rt△AEH（HL），

∴∠DHG=∠AEH，

∵∠AEH+∠AHE=90°，

∴∠DHG+∠AHE=90°，

∴∠GHE=90°，

∵四边形EFGH是菱形，

∴四边形EFGH是正方形

【解析】（1）先根据矩形的性质，利用勾股定理列出表达式：HG2=DH2+DG2 ， HE2=AH2+AE2 ， 再根据菱形的性质，得到等式DH2+DG2=AH2+AE2 ， 最后计算AE的长；（2）先根据已知条件，用HL判定Rt△DHG≌Rt△AEH，得到∠DHG=∠AEH，因为∠AEH+∠AHE=90°，∠DHG+∠AHE=90°，可得菱形的一个角为90°，进而判定该菱形为正方形．
【考点精析】掌握菱形的性质和矩形的性质是解答本题的根本，需要知道菱形的四条边都相等；菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；菱形被两条对角线分成四个全等的直角三角形；菱形的面积等于两条对角线长的积的一半；矩形的四个角都是直角，矩形的对角线相等．