Question

【题目】如图,已知△ABC,AD平分∠BAC交BC于点D,BC的中点为M,ME∥AD,交BA的延长线于点E,交AC于点F.求证:

（1）AE=AF;
（2）BE= (AB+AC).

Answer 1

【答案】
（1）证明:∵AD平分∠BAC,
∴∠BAD=∠CAD.
∵AD∥EM,
∴∠BAD=∠AEF,∠CAD=∠AFE.
∴∠AEF=∠AFE.
∴AE=AF.
（2）证明:如图,在BE的延长线上截取EG=BE,并连接CG.

∵BM=CM,∴EM为△BCG的中位线.
∴EM∥CG.∴∠AGC=∠AEF,∠ACG=∠AFE.
∵∠AEF=∠AFE,
∴∠AGC=∠ACG.
∴AG=AC.
∴BE= BG= (AB+AG)= (AB+AC)
【解析】（1）根据角平分线的定义得出∠BAD=∠CAD，再根据平行线的性质得出∠BAD=∠AEF,∠CAD=∠AFE，就可证得∠AEF=∠AFE，然后根据等边对等角即可证得结论。
（2）在BE的延长线上截取EG=BE,并连接CG，构造△ACG的中位线得出EM∥CG，根据平行线的性质证得∠AGC=∠AEF,∠ACG=∠AFE，再根据∠AEF=∠AFE，从而得到∠AGC=∠ACG，根据等角对等边证出AG=AC，然后根据BE= BG，就可证得结论。