Question

【题目】已知抛物线y=-x2+bx+c的顶点P的坐标为（n，n2+2n+1）（n≥1）.

（1）求b与n，c与n之间的关系式；

（2）若抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于点A，B（点A在点B的左边），点P到AB的距离等于线段AB长的2倍，求此抛物线y=-x2+bx+c的解析式；

（3）设抛物线y=-x2+bx+c与y轴交于点D，O为原点，矩形OEFD的顶点E，F分别在x轴和该抛物线上，当矩形OEFD的面积为20时，求点P的坐标.

Answer 1

【答案】（1）b=2n,c=2n+1；（2）此抛物线c的解析式为y=-x2+6x+7；（3）点P的坐标为（2，9）.

【解析】试题分析：（1）yP由定点P的坐标，可得抛物线的解析式为y=-x2+2nx+2n+1=-x2+bx+c，左右对照即可求出b和c；

（2）根据抛物线的解析式可求出A和B的坐标，又点P到x轴的距离为n2+2n+1，所以有n2+2n+1=2n+2，解方程求出n的值，进而可求出抛物线解析式；

（3）根据已知条件可求出OD，DF的长，再根据矩形的面积公式可得：ODDF=2n（2n+1）=20，求出n的值，即可求出P的坐标．

试题解析：（1）∵顶点P的坐标为（n，n2+2n+1）（n≥1），

∴y=-（x-n）2+n2+2n+1=-x2+2nx+2n+1=-x2+bx+c，

∴b=2n，c=2n+1；

（2）当y=0时，即-x2+2nx+2n+1=0.解得x1=-1，x2=2n+1.

由于点A在点B的左边，

∴点A的坐标为（-1，0），点B 的坐标为（2n+1，0），

即AB=2n+1-（-1）=2n+2；

又点P到x轴的距离为n2+2n+1，

由题意可得n2+2n+1=2n+2.解得n=3，n=-1（不合题意，舍去），

即n=3；

∴此抛物线c的解析式为y=-x2+6x+7；

（3）如图所示，∵c=2n+1，

∴点D的坐标为（0，2n+1），即OD=2n+1，

又∵DF∥x轴，且D，F关于直线x=n对称，

∴F的坐标为（2n，2n+1），

∴DF=2n.

由题意可得OD·DF=20，即2n（2n+1）=20，

解得n=2或n=-2.5（不合题意，舍去），即n=2；

∴点P的坐标为（2，9）.