Question

【题目】如图，AB是⊙O的直径，D为⊙O上一点，过 上一点T作⊙O的切线TC，且TC⊥AD于点C．
（1）若∠DAB=50°，求∠ATC的度数；
（2）若⊙O半径为2，CT= ，求AD的长．

Answer 1

【答案】
（1）解：连接OT，如图1：

∵TC⊥AD，⊙O的切线TC，

∴∠ACT=∠OTC=90°，

∴∠CAT+∠CTA=∠CTA+∠ATO，

∴∠CAT=∠ATO，

∵OA=OT，

∴∠OAT=∠ATO，

∴∠DAB=2∠CAT=50°，

∴∠CAT=25°，

∴∠ATC=90°﹣25°=65°

（2）解：过O作OE⊥AC于E，连接OT、OD，如图2：

∵AC⊥CT，CT切⊙O于T，

∴∠OEC=∠ECT=∠OTC=90°，

∴四边形OECT是矩形，

∴OT=CE=OD=2，

∵OE⊥AC，OE过圆心O，

∴AE=DE= AD，

∵CT=OE= ，

在Rt△OED中，由勾股定理得：ED= ，

∴AD=2

【解析】（1）连接OT，根据同角的余角相等得出∠CAD=∠ATO，进而得出∠DAB=2CAT，解答即可；（2）过O作OE⊥AC于E，连接OT、OD，得出矩形OECT，求出OT=CE，根据垂径定理求出DE，根据矩形性质求出OT=CT，根据勾股定理求出即可．
【考点精析】本题主要考查了切线的性质定理的相关知识点，需要掌握切线的性质：1、经过切点垂直于这条半径的直线是圆的切线2、经过切点垂直于切线的直线必经过圆心3、圆的切线垂直于经过切点的半径才能正确解答此题．